Et stort og sentralt område i matematikken, består av to hovedfelter: generell topologi, som har utviklet seg i nær tilknytning til den matematiske analyse (se analyse, 5), og algebraisk topologi. De to hovedbegrepene i den generelle topologi er topologisk rom og kontinuerlig avbildning. Et topologisk rom er en mengde M hvor hvert element (punkt) i M har et tilordnet system av delmengder i M som vi kaller omegner til elementet, og som oppfyller visse presise betingelser. Dersom M f.eks. er et plan og p er et punkt i dette planet, vil mengden av alle punkter i M som har en avstand fra p som er mindre enn et gitt tall større enn null være et typisk eksempel på en omegn til p. En avbildning (funksjon) f fra ett topologisk rom (M1) inn i et annet (M2) er kontinuerlig i et punkt p dersom det til enhver omegn O2 til f(p) i M2 finnes en omegn O1 til p i M1 slik at O1 avbildes inn i O2 ved f, og f er kontinuerlig hvis f er kontinuerlig i ethvert punkt i M1. Begrepene topologisk rom og kontinuerlig avbildning muliggjør en systematisk og enhetlig behandling av alle de situasjoner hvor kontinuitetsbegrepet opptrer i matematikken.

To topologiske rom sies å være topologisk ekvivalente eller homeomorfe hvis det eksisterer en homeomorfisme mellom dem. I den algebraiske topologi er hovedproblemet å avgjøre om to topologiske rom er homeomorfe eller ikke, og mer generelt beskrive de egenskaper ved en figur som er uforandret (invariante) ved kontinuerlige deformasjoner. Klassifiseringen av topologiske rom ettersom de er er homeomorfe eller ikke, er et meget vanskelig og omfattende problem som foreløpig bare er blitt løst for meget spesielle typer av topologiske rom som f.eks. lukkede flater i det vanlige 3-dimensjonale rom. Det er bare for de såkalte mangfoldigheter at det eksisterer en virkelig velutviklet teori. Ved hjelp av begreper som homologi og homotopi kan man ofte overføre geometriske problemer til algebraiske problemer, og denne metoden er typisk for den algebraiske topologi. Utviklingen av algebraisk geometri har sitt utspring i B. Riemanns arbeider, men det er H. Poincaré som regnes som den egentlige grunnleggeren av den algebraiske topologi. Algebraiseringen av geometrien har spilt en vesentlig rolle i matematikkens utvikling i de siste tiår, og spesielt har homologi-teorien vist seg fruktbar på en rekke områder.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om eller kommentarer til artikkelen?

Kommentaren din vil bli publisert under artikkelen, og fagansvarlig eller redaktør vil svare når de har mulighet.

Du må være logget inn for å kommentere.