topologi

Topologi er et stort og sentralt område i matematikken. Det består av to hovedfelter:

Faktaboks

Uttale
topologˈi
Etymologi
av topo- og -logi
  1. Generell topologi, som har utviklet seg i nær tilknytning til matematisk analyse
  2. Algebraisk topologi

Generell topologi

De to hovedbegrepene i generell topologi er topologisk rom og kontinuerlig avbildning. Et topologisk rom er en mengde M hvor hvert element (punkt) i M har et tilordnet system av delmengder i M som vi kaller omegner til elementet, og som oppfyller visse presise betingelser. Dersom M for eksempel er et plan og p er et punkt i dette planet, vil mengden av alle punkter i M som har en avstand fra p som er mindre enn et gitt tall større enn null, være et typisk eksempel på en omegn til p.

En avbildning (funksjon) f fra ett topologisk rom (M1) inn i et annet (M2) er kontinuerlig i et punkt p dersom det til enhver omegn O2 til f(p) i M2 finnes en omegn O1 til p i M1 slik at O1 avbildes inn i O2 ved f, og f er kontinuerlig hvis f er kontinuerlig i ethvert punkt i M1. Begrepene topologisk rom og kontinuerlig avbildning muliggjør en systematisk og enhetlig behandling av alle de situasjoner hvor kontinuitetsbegrepet opptrer i matematikken.

Topologisk ekvivalens

To topologiske rom sies å være topologisk ekvivalente eller homeomorfe hvis det eksisterer en homeomorfisme mellom dem. I den algebraiske topologi er hovedproblemet å avgjøre om to topologiske rom er homeomorfe eller ikke, og mer generelt beskrive de egenskaper ved en figur som er uforandret (invariante) ved kontinuerlige deformasjoner.

Klassifiseringen av topologiske rom ettersom de er er homeomorfe eller ikke, er et meget vanskelig og omfattende problem som foreløpig bare er blitt løst for meget spesielle typer av topologiske rom som for eksempel lukkede flater i det vanlige 3-dimensjonale rom. Det er bare for de såkalte mangfoldigheter at det eksisterer en virkelig velutviklet teori.

Algebraisk topologi

Ved hjelp av begreper som homologi og homotopi kan man ofte overføre geometriske problemer til algebraiske problemer, og denne metoden er typisk for den algebraiske topologi.

Utviklingen av algebraisk geometri har sitt utspring i Bernhard Riemanns arbeider, men det er Henri Poincaré som regnes som den egentlige grunnleggeren av algebraisk topologi. Algebraiseringen av geometrien har spilt en vesentlig rolle i matematikkens utvikling i de siste tiår, og spesielt har homologi-teorien vist seg fruktbar på en rekke områder.

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg