I mengdelæren defineres en mengde M som uendelig dersom det er mulig å avbilde M en-entydig på en ekte delmengde av M.

Mengden \(\mathbb{Z}\) av heltallene ±1, ±2, ±3, ... er et eksempel på en uendelig mengde, ettersom korrespondansen «n svarer til 2n» er en-entydig (en injeksjon), og partallene danner en ekte delmengde av \(\mathbb{Z}\).

Vi kan uformelt si at det er «like mange» partall som heltall, og altså definere en mengde som uendelig dersom det finnes en ekte delmengde av mengden som har «like mange» elementer som mengden selv.

Det finnes ulike «grader» av uendelighet i mengdelæren, og disse gradene angis ved kardinaltall. Mengden av alle heltall (som er tellbar) har kardinaltallet (kardinaliteten) \(\aleph_0\). Mengder som er overtellbare (for store til å være tellbare) har andre kardinaltall, som \(\aleph_1, \aleph_2,\aleph_3,\ldots\). Mengden av alle reelle tall er overtellbar, og har kardinaliteten \(2^{\aleph_0}\). Cantors kontinuumshypotese sier at \(2^{\aleph_0}=\aleph_1\), men dette kan hverken bevises eller motbevises ut fra de vanlige aksiomene i mengdelæren, altså det formelle systemet ZFC.

I matematisk analyse opptrer begrepet uendelig i forbindelse med grenseprosesser. Vi sier for eksempel at summen 1 + 2 + ... +n går mot uendelig når n går mot uendelig, og dette skrives \[\lim_{n \to \infty} (1 + 2 + \dotsc + n) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n i = \infty\]

Det ligger helt presise matematiske definisjoner bak denne språkbruken. Det samme gjelder når man i  projektiv geometri for eksempel snakker om uendelig fjerne punkter og linjer.

Om uendelige rekker, se rekke.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om eller kommentarer til artikkelen?

Kommentaren din vil bli publisert under artikkelen, og fagansvarlig eller redaktør vil svare når de har mulighet.

Du må være logget inn for å kommentere.