De tre klassiske partielle differensialligningene er bølgeligningen, varmeledningsligningen og Laplaces ligning.
- Bølgeligningen beskriver for eksempel utslaget av en gitarstreng. Om \(u\) er utslaget og \(x\) er posisjon på strengen og \(t\) er tiden, vil utslaget \(u=u(t,x)\) oppfylle den partielle differensialligningen \[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0.\]
- Varmeledningsligningen kan beskrive temperaturfordelingen for eksempel i en jernstang. Om \(u=u(t,x)\) betegner temperaturen i et punkt \(x\) i stangen ved tiden \(t\), vil temperaturutviklingen være bestemt ved den partielle differensialligningen \[\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0.\]
- Laplaces ligning kan beskrive fenomener der vi har et potensial. For stasjonær flyt av en inkompressibel væske har vi et potensial \(V=V(x,y,z)\) slik at hastigheten \(u\) av væsken er gradienten til \(V,\) det vil si at \(u =\nabla V\), og \(V\) vil oppfylle ligningen \[\Delta V=0\] der \(\Delta\) er Laplace-operatoren og gitt ved \(\Delta V= \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}\).
For å kunne løse en partiell differensialligning, må man kjenne rand- og initialverdiene til den ukjente funksjonen. For bølgeligningen som model for en gitarstreng betyr det følgende: Vi må vite hvordan vibrasjonene startet (hvor mye trakk vi strengen ut, og ga vi den en dytt?) – initialbetingelser – og hvordan strengen er festet på endene – randbetingelser. Om vi kjenner disse, har bølgeligningen en éntydig løsning.
Om det er flere ukjente funksjoner, snakker man om systemer av differensialligninger. I hvert av de konkrete eksemplene ovenfor er det bare én ukjent funksjon. Slike ligninger kalles skalare differensialligninger. Newtons gravitasjonslov, der hver planets posisjon representerer én ukjent funksjon er et eksempel på et system av ordinære differensialligninger.
Man skiller også mellom lineære og ikke-lineære differensialligninger. I en lineær differensialligning forekommer den ukjente funksjonen og alle dens deriverte bare lineært. Om ligningen i tillegg er homogen, vil det såkalte superposisjonsprinsippet gjelde, det vil si at at om man har to løsninger, vil også summen av de to løsningene være en løsning av ligningen. Om ligningen ikke er lineær, er den ikke-lineær. Alle de tre klassiske partielle differensialligningene ovenfor er lineære. Videre er Schrödinger-ligningen lineær, mens både Newtons gravitasjonslov, den generelle relativitetsteorien og Navier–Stokes ligningene er ikke-lineære.
Kommentarer (2)
skrev Reinhard Siegmund-Schultze
Hei Helge,
er ikke det litt misvisende å nevne Newtons gravitasjonslov under partielle differensialligninger? Må vi ikke gjøre et forsøk å forklare forskjellen ordinære og partielle diffligninger til lekmenn? At de siste omfatter de første i generel forstand er jo klart.
Hilsen Reinhard
svarte Helge Holden
Jo, du har rett i det. Jeg skal skrive det litt om.
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.