differensialligning

Differensialligning, ligning mellom en funksjon y og dens deriverte y ʹ, y ʹʹ og så videre (se differensialregning). Hvis y⁽ⁿ⁾ er den høyeste deriverte som forekommer, sies differensialligningen å være av n'te orden. Bestemmelsen av alle funksjoner y som tilfredsstiller en differensialligning, kalles å løse eller integrere ligningen, mens enhver løsningsfunksjon kalles et integral. I alminnelighet er integralet ikke éntydig bestemt, men avhenger av visse integrasjonskonstanter, for eksempel har differensialligningen y ʹʹ + y = 0 løsningen y = c₁ sin x + c₂ cos x, hvor c₁ og c₂ er vilkårlige konstanter.

Man studerer også differensialligninger som inneholder partielle deriverte av en funksjon. Disse kalles partielle differensialligninger, i motsetning til ovenstående ordinære differensialligninger. Ved en partiell differensialligning inneholder løsningene vilkårlige funksjoner, og det oppstår da det videre problem å bestemme løsninger som antar gitte verdier, for eksempel langs en viss kurve (randverdiproblem).

Ved simultane differensialligninger forstår man et system av differensialligninger som inneholder de deriverte av en eller flere funksjoner.

Løsningen av differensialligninger var en av de første anvendelser av integralregningen både hos Isaac Newton og Wilhelm Leibniz. Teorien ble senere utviklet av en rekke matematikere, spesielt kan nevnes Johann Bernoulli og Leonhard Euler. Den norske matematikeren Sophus Lie gjorde banebrytende arbeider over gruppeteoriens anvendelse på differensialligninger. Teorien for differensialligninger er nå et av de viktigste hjelpemidler i anvendt matematikk, for eksempel i mekanikk, fysikk og elektroteknikk.