matematikk

Matematikk, tidligere oppfattet som læren om tall og geometriske figurer; nå mer korrekt og generelt definert som vitenskapen om struktur, orden og relasjoner. Matematikken har utviklet seg fra hverdagsproblemer knyttet til telling, måling og bestemmelse av objekters form. Den er bygd opp av logiske slutninger basert på grunnleggende antagelser, aksiomer. Karakteristisk er også et særegent symbolspråk med noe nær universell utbredelse, og eksakte kvantitative beregninger. Utviklingen av et hensiktsmessig, fortettet symbolspråk, som fortsatt er i utvikling, har vært avgjørende for matematikkens utvikling. En annen faktor av stor betydning har vært en økende grad av idealisering, generalisering og abstrahering i form og metode. Dette har gjort det mulig å angripe gamle problemer fra nye og uventede kanter, og å løse dem. Et eksempel er beviset av Fermats sats i 1995, et problem fra tallteorien som hadde stått uløst i 350 år.

Faktaboks

uttale:: matematˈikk
etymologi:: av gresk ‘vitenskap’

På grunn av matematikkens fundamentale karakter har den alltid hatt stor betydning for utviklingen av andre naturvitenskaper, spesielt fysikk. I dag finner matematikken også anvendelse i de kvantitative sider av biovitenskapene, i medisin, psykologi, lingvistikk, økonomi og teknologi, for å nevne noen felter. Særlig for fremveksten av den moderne informasjonsteknologien har matematikken vært uunnværlig, og mange områder av matematikken som tidligere ble oppfattet som utelukkende teoretiske, har her fått en meget praktisk anvendelse. Det må også nevnes at påvirkningen har vært stor den andre veien; problemstillinger fra naturvitenskap og det praktiske liv har i stor grad ført til utvikling av nye matematiske metoder og disipliner, og regnekraften i moderne datamaskiner har muliggjort resultater innen numerisk matematikk som tidligere ville ha vært utenkelige.

Det er et forbløffende særtrekk ved matematikken at den har en dualistisk karakter: på den ene side er den en abstrakt mental aktivitet hvor estetiske og logiske prinsipper dominerer, og på den annen side en problemløser i virkelighetens verden med stor gjennomslagskraft. Se også matematisk modell.

Inndeling

Fra lang tid tilbake har matematikken vært inndelt i en rekke disipliner; men hvilken inndeling man velger vil variere, og disiplinene overlapper alltid til en viss grad. En første grovinndeling kan for eksempel omfatte følgende områder: 1) Logikk og mengdelære; 2) kombinatorikk, 3) aritmetikk og tallteori; 4) algebra; 5) geometri; 6) (matematisk) analyse; 7) numerisk analyse og 8) statistikk og sannsynlighetsregning. Hver av disse disiplinene er igjen delt i en rekke delområder. Geometrien omfatter for eksempel emner som topologi, differensialgeometri, projektiv geometri, algebraisk geometri, analytisk geometri og trigonometri, og tatt i vid betydning omfatter disiplinen matematisk analyse slike delområder som differensialligninger, harmonisk analyse, kompleks funksjonsteori av en og flere variable samt sannsynlighetsteori.

Se hvert enkelt emne for nærmere beskrivelse og forklaring.

Historisk utvikling

Gresk papyrus fra Nildalen med multiplikasjonstabeller, 5. århundre.

_{Neues Museum, Berlin.}

Lars Mæhlum.

Lisens: Begrenset gjenbruk

Leirtavler som stammer fra sumererne og babylonierne fra ca. 2000 f.Kr. vitner om betydelige matematiske kunnskaper. På disse tavlene finner man forholdsvis kompliserte regninger av forskjellig slag, som f.eks. utregninger av kvadratrøtter, løsninger av annengradsligninger og beregning av arealer og volumer. På denne tiden var egypternes kjennskap til matematikk av mer elementær karakter, noe som blant annet vises av Ahmes bok Papyrus Rhind fra ca. 1700 f.Kr. Æren for å ha skapt matematikk som vitenskap tilkommer likevel grekerne, selv om de hadde arvet mange matematiske kunnskaper fra babylonierne. Kjennskapet til de første greske matematikerne, Thales fra Milet (ca. 625–545 f.Kr.) og pytagoreerne (ca. 500 f.Kr.) er mangelfullt, men hos Evdoxos fra Knidos (409–356 f.Kr.) og Evklid (ca. 300 f.Kr.) finner man den matematiske teorien i den form som den ennå har. Evklids Elementer er det verk i gresk matematikk som har hatt størst innflytelse. Verket gir grunnlaget for den greske geometrien, og helt til 1800-tallet var det den mest brukte læreboken i elementær geometri.

Høydepunktene i den greske matematikken representeres ved Apollonios fra Perga (265–190 f.Kr.) og Arkimedes (287–212 f.Kr.). I motsetning til den babylonske matematikks rent regnemessige og algebraiske form var gresk matematikk hovedsakelig av geometrisk karakter. Grunnen til at grekerne foretrakk geometrien, kan spores tilbake til pytagoreernes oppdagelse av inkommensurable størrelser og vanskelighetene med å gi en tilfredsstillende innføring av irrasjonale tall. Senere i den aleksandrinske perioden av gresk matematikk ble mer algebraiske metoder utviklet, og særlig må nevnes at Diofantos fra Alexandria (ca. 300 e.Kr.), Hipparkhos (ca. 190–125 f.Kr.) og Klaudios Ptolemaios (ca. 140 e.Kr.) skapte trigonometrien i forbindelse med astronomiske undersøkelser.

I India, Japan og Kina hadde man matematiske kunnskaper av betydning alt før Kristi fødsel. I hvilken grad de skyldes en uavhengig utvikling eller babylonsk og gresk påvirkning, har vært vanskelig å avgjøre. En senere indisk periode – Brahmagupta (ca. 630 e.Kr.) og Bhaskara (ca. 1150 e.Kr.) – brakte originale undersøkelser innen tallteorien. Araberne var grekernes arvtagere innen matematikken, og en rekke klassiske greske verker er bare kjent gjennom de arabiske oversettelser. Blant de mest fremtredende arabiske matematikere var Al-Karkhi (ca. 1000 e.Kr.), poeten Omar Khayyam (ca. 1100 e.Kr.), og særlig Mohamed Ibn Musa al- Khwarizmî (ca. 820 e.Kr.), som gjennom sine verker bidrog til å gjøre regningen med det indisk-arabiske tallsystemet kjent i Europa.

Romerne viste liten interesse for matematikkens utvikling, og i Europa lå de matematiske kunnskapene på et lavmål gjennom størstedelen av middelalderen. Den eneste matematiker av betydning er Leonardo Pisano Fibonacci, hvis verk Liber abaci (1202), om enn arabisk påvirket, viser en ualminnelig matematisk innsikt og originalitet. I renessansetiden ble en rekke antikke verker kjent i latinske oversettelser. En norditaliensk matematisk skole utviklet seg ca. 1500 med universitetet i Bologna som sentrum. Den skapte viktige resultater innenfor algebra og ligningsteori. Scipione del Ferros løsning av tredjegradsligninger ble offentliggjort først i Girolamo Cardanos verk Ars Magna (1545), og her finnes også Lodovico Ferraris løsning av fjerdegradsligningen. En sluttstein på disse undersøkelser er Niels Henrik Abels senere påvisning (1824) av at femtegradsligninger i alminnelighet ikke kan løses ved rotutdragning.

De tidligste matematiske tekstene kunne bare illustrere de alminnelige reglene ved hjelp av eksempler. I mange tilfeller utviklet det seg en synkopert algebra med faste forkortelser for de uttrykkene som forekom oftest. Ikke før på 1500-tallet begynte den bevisste utbyggingen av et matematisk tegnspråk. Det viktige skritt å innføre bokstaver for å betegne vilkårlige størrelser skyldes den franske matematikeren François Viète (ca. 1580). Først med Gottfried Wilhelm Leibniz og Leonhard Euler kan man si at tegnspråket ble noenlunde gjennomført.

Noen av de vanligste matematiske symboler med tidspunktet for deres tidligste forekomst er følgende: Addisjons- og subtraksjonstegnene + og − ble brukt først av J. Widman 1489, multiplikasjonstegnet × av William Oughtred 1631, punktet · for multiplikasjon av Gottfried Wilhelm Leibniz 1693, brøkstreken av Leonardo Pisano Fibonacci 1202, divisjonstegnet : av Leibniz 1684, likhetstegnet = av Robert Recorde 1557, parenteser bruktes av F. Vieta, rottegn √ av A. Girard 1629, eksponenter aⁿ av René Descartes 1637, tegnene > og < for større og mindre enn av T. Harriot 1631.

Den numeriske regningen ble revolusjonert gjennom John Napiers logaritmer (1614) og Henry Briggs' logaritmetabeller for grunntall 10 (1624, se logaritme). Studiet av geometrien skiftet karakter gjennom Descartes' innføring av koordinater og den analytiske geometri (1637). Dette lettet veien til 1600-tallets viktigste nyskapning, infinitesimalregningen, som består av differensial- og integralregning. Pierre de Fermat kan med god grunn regnes som en av differensialregningens skapere. Som infinitesimalregningens egentlige grunnleggere står imidlertid Isaac Newton (1642–1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716). Blant tidens mest fremtredende matematikere var de sveitsiske Bernoulli-brødrene (se Jakob Bernoulli og Johann Bernoulli) som særlig arbeidet innen variasjonsregningen og sannsynlighetsregningen, den produktive Leonhard Euler som arbeidet innenfor alle områder av matematikken, den franske matematikeren Pierre Simon Laplace, kjent for sine arbeider over celest mekanikk og sannsynlighetsregning, og J. L. Lagrange, kjent for undersøkelser over ligningsteori og variasjonsregning.

Moderne matematikk

Det er ikke mulig å beskrive i korthet den nyere fase av matematikkens utvikling som begynte på 1800-tallet; det henvises til spesialartikler. En rekke nye grener er vokst frem. Nye krav til logisk stringens ble stilt av Niels Henrik Abel, Augustin Louis Cauchy og Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. Et nytt syn ikke bare på geometriens, men på hele matematikkens natur har sin rot i Johann Carl Friedrich Gauss', Nikolaj Ivanovitsj Lobatsjevskijs og J. Bolyais (se Farkas Bolyai) studier av ikke-evklidske geometrier. Etter den greske oppfatning var de matematiske aksiomene å anse som selvinnlysende sannheter; et eksempel er Evklids parallellaksiom som sier at det gjennom et punkt utenfor en linje bare kan trekkes én parallell med linjen. Utviklingen av de ikke-evklidske geometriene viste at det er fullt mulig å ha logisk konsistente systemer under antagelsen at det ikke finnes noen paralleller, eller at det eksisterer uendelig mange. Dette førte til det syn at aksiomene snarere må tenkes som visse, forholdsvis vilkårlig valgbare forutsetninger. Denne oppfatningen har hatt en gjennomgripende betydning for matematikkens videre utvikling, særlig på 1900-tallet, og har ført til en tidligere uant ekspansjon, både ved at klassiske disipliner er blitt utvidet og generalisert, og ved at nye er skapt.

De to hoveddisiplinene som særlig er blitt influert av en stadig økende abstraksjon, er algebraen og topologien. Svært mye av matematikken bygger nå på de grunnleggende ideene innen disse områdene, slik disse f.eks. er fremstilt i et omfattende samleverk av Nicolas Bourbaki. De vesentlige spørsmålene i forbindelse med matematikkens grunnlag tas opp først og fremst i mengdelæren og i den matematiske logikk. Den østerrikske (senere amerikanske) matematikeren og logikeren Kurt Gödel innehar her en enestående posisjon, og hans påvisning av begrensningene i den deduktive metode er av fundamental betydning både for logikken og filosofien.

Datarevolusjonen i siste halvdel av 1900-tallet har hatt en enorm innflytelse på matematikken, og ville i sin tur naturligvis ikke ha vært mulig uten matematikken som verktøy. Typisk er at felter som tidligere ble oppfattet som «ren» matematikk (i motsetning til anvendt, eller anvendbar matematikk) har vist seg å ha gjennomgripende innflytelse på matematikkens og informasjonsteknologiens utvikling. Logikken danner selve grunnlaget for datamaskiner og programmering; kombinatorikk og grafteori er sentrale verktøy i konstruering og verifisering av dataprogrammer; behovet for å beregne kompleksiteten til beregningsmetoder har ført til utviklingen av et nytt delemne innen matematikken, med utstrakt bruk av asymptotiske funksjoner. Kodeteorien, som brukes i all digital koding av informasjon, tar i bruk abstrakt algebra, og i kryptografien har også faget tallteori, tidligere oppfattet som kanskje den mest teoretiske delen av matematikken, fått en svært viktig og avgjørende praktisk betydning.

Et annet særtrekk ved den moderne matematikken er diversiteten i bruk av metoder, og den utstrakte koblingen mellom tidligere atskilte områder. Anvendelse av geometriske metoder innen den matematiske analysen er et eksempel; bruk av tallteori og sannsynlighetsregning for konstruksjon og testing av algoritmer er et annet. I bildebehandling, og også innen matematisk modellering, anvendes en kombinasjon av statistiske metoder, numerisk analyse og enorm regnekraft.

Det nasjonale nettstedet for matematikk

Litteratur

Holme, Audun: Matematikkens historie, 2. rev. utg., 2008-, 2 b.

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

Fagansvarlig for Tallteori

Jon Eivind Vatne

Høgskulen på Vestlandet