matematikk

Matematikk, tidligere oppfattet som læren om tall og geometriske figurer; nå mer korrekt og generelt definert som vitenskapen om struktur, orden og relasjoner. Matematikken har utviklet seg fra hverdagsproblemer knyttet til telling, måling og bestemmelse av objekters form. Den er bygd opp av logiske slutninger basert på grunnleggende antagelser, aksiomer. Karakteristisk er også et særegent symbolspråk med noe nær universell utbredelse, og eksakte kvantitative beregninger. Utviklingen av et hensiktsmessig, fortettet symbolspråk, som fortsatt er i utvikling, har vært avgjørende for matematikkens utvikling. En annen faktor av stor betydning har vært en økende grad av idealisering, generalisering og abstrahering i form og metode. Dette har gjort det mulig å angripe gamle problemer fra nye og uventede kanter, og å løse dem. Et eksempel er beviset av Fermats sats i 1995, et problem fra tallteorien som hadde stått uløst i 350 år.

På grunn av matematikkens fundamentale karakter har den alltid hatt stor betydning for utviklingen av andre naturvitenskaper, spesielt fysikk. I dag finner matematikken også anvendelse i de kvantitative sider av biovitenskapene, i medisin, psykologi, lingvistikk, økonomi og teknologi, for å nevne noen felter. Særlig for fremveksten av den moderne informasjonsteknologien har matematikken vært uunnværlig, og mange områder av matematikken som tidligere ble oppfattet som utelukkende teoretiske, har her fått en meget praktisk anvendelse. Det må også nevnes at påvirkningen har vært stor den andre veien; problemstillinger fra naturvitenskap og det praktiske liv har i stor grad ført til utvikling av nye matematiske metoder og disipliner, og regnekraften i moderne datamaskiner har muliggjort resultater innen numerisk matematikk som tidligere ville ha vært utenkelige.

Det er et forbløffende særtrekk ved matematikken at den har en dualistisk karakter: på den ene side er den en abstrakt mental aktivitet hvor estetiske og logiske prinsipper dominerer, og på den annen side en problemløser i virkelighetens verden med stor gjennomslagskraft. Se også matematisk modell.

Fra lang tid tilbake har matematikken vært inndelt i en rekke disipliner; men hvilken inndeling man velger vil variere, og disiplinene overlapper alltid til en viss grad. En første grovinndeling kan for eksempel omfatte følgende områder: 1) Logikk og mengdelære; 2) kombinatorikk, 3) aritmetikk og tallteori; 4) algebra; 5) geometri; 6) (matematisk) analyse; 7) numerisk analyse og 8) statistikk og sannsynlighetsregning. Hver av disse disiplinene er igjen delt i en rekke delområder. Geometrien omfatter for eksempel emner som topologi, differensialgeometri, projektiv geometri, algebraisk geometri, analytisk geometri og trigonometri, og tatt i vid betydning omfatter disiplinen matematisk analyse slike delområder som differensialligninger, harmonisk analyse, kompleks funksjonsteori av en og flere variable samt sannsynlighetsteori.

Se hvert enkelt emne for nærmere beskrivelse og forklaring.

Leirtavler som stammer fra sumererne og babylonierne fra ca. 2000 f.Kr. vitner om betydelige matematiske kunnskaper. På disse tavlene finner man forholdsvis kompliserte regninger av forskjellig slag, som f.eks. utregninger av kvadratrøtter, løsninger av annengradsligninger og beregning av arealer og volumer. På denne tiden var egypternes kjennskap til matematikk av mer elementær karakter, noe som blant annet vises av Ahmes bok Papyrus Rhind fra ca. 1700 f.Kr. Æren for å ha skapt matematikk som vitenskap tilkommer likevel grekerne, selv om de hadde arvet mange matematiske kunnskaper fra babylonierne. Kjennskapet til de første greske matematikerne, Thales fra Milet (ca. 625–545 f.Kr.) og pytagoreerne (ca. 500 f.Kr.) er mangelfullt, men hos Evdoxos fra Knidos (409–356 f.Kr.) og Evklid (ca. 300 f.Kr.) finner man den matematiske teorien i den form som den ennå har. Evklids Elementer er det verk i gresk matematikk som har hatt størst innflytelse. Verket gir grunnlaget for den greske geometrien, og helt til 1800-tallet var det den mest brukte læreboken i elementær geometri.

Høydepunktene i den greske matematikken representeres ved Apollonios fra Perga (265–190 f.Kr.) og Arkimedes (287–212 f.Kr.). I motsetning til den babylonske matematikks rent regnemessige og algebraiske form var gresk matematikk hovedsakelig av geometrisk karakter. Grunnen til at grekerne foretrakk geometrien, kan spores tilbake til pytagoreernes oppdagelse av inkommensurable størrelser og vanskelighetene med å gi en tilfredsstillende innføring av irrasjonale tall. Senere i den aleksandrinske perioden av gresk matematikk ble mer algebraiske metoder utviklet, og særlig må nevnes at Diofantos fra Alexandria (ca. 300 e.Kr.), Hipparkhos (ca. 190–125 f.Kr.) og Klaudios Ptolemaios (ca. 140 e.Kr.) skapte trigonometrien i forbindelse med astronomiske undersøkelser.

I India, Japan og Kina hadde man matematiske kunnskaper av betydning alt før Kristi fødsel. I hvilken grad de skyldes en uavhengig utvikling eller babylonsk og gresk påvirkning, har vært vanskelig å avgjøre. En senere indisk periode – Brahmagupta (ca. 630 e.Kr.) og Bhaskara (ca. 1150 e.Kr.) – brakte originale undersøkelser innen tallteorien. Araberne var grekernes arvtagere innen matematikken, og en rekke klassiske greske verker er bare kjent gjennom de arabiske oversettelser. Blant de mest fremtredende arabiske matematikere var Al-Karkhi (ca. 1000 e.Kr.), poeten Omar Khayyam (ca. 1100 e.Kr.), og særlig Mohamed Ibn Musa al- Khwarizmî (ca. 820 e.Kr.), som gjennom sine verker bidrog til å gjøre regningen med det indisk-arabiske tallsystemet kjent i Europa.

Romerne viste liten interesse for matematikkens utvikling, og i Europa lå de matematiske kunnskapene på et lavmål gjennom størstedelen av middelalderen. Den eneste matematiker av betydning er Leonardo Pisano Fibonacci, hvis verk Liber abaci (1202), om enn arabisk påvirket, viser en ualminnelig matematisk innsikt og originalitet. I renessansetiden ble en rekke antikke verker kjent i latinske oversettelser. En norditaliensk matematisk skole utviklet seg ca. 1500 med universitetet i Bologna som sentrum. Den skapte viktige resultater innenfor algebra og ligningsteori. Scipione del Ferros løsning av tredjegradsligninger ble offentliggjort først i Girolamo Cardanos verk Ars Magna (1545), og her finnes også Lodovico Ferraris løsning av fjerdegradsligningen. En sluttstein på disse undersøkelser er Niels Henrik Abels senere påvisning (1824) av at femtegradsligninger i alminnelighet ikke kan løses ved rotutdragning.

De tidligste matematiske tekstene kunne bare illustrere de alminnelige reglene ved hjelp av eksempler. I mange tilfeller utviklet det seg en synkopert algebra med faste forkortelser for de uttrykkene som forekom oftest. Ikke før på 1500-tallet begynte den bevisste utbyggingen av et matematisk tegnspråk. Det viktige skritt å innføre bokstaver for å betegne vilkårlige størrelser skyldes den franske matematikeren François Viète (ca. 1580). Først med Gottfried Wilhelm Leibniz og Leonhard Euler kan man si at tegnspråket ble noenlunde gjennomført.

Noen av de vanligste matematiske symboler med tidspunktet for deres tidligste forekomst er følgende: Addisjons- og subtraksjonstegnene + og − ble brukt først av J. Widman 1489, multiplikasjonstegnet × av William Oughtred 1631, punktet · for multiplikasjon av Gottfried Wilhelm Leibniz 1693, brøkstreken av Leonardo Pisano Fibonacci 1202, divisjonstegnet : av Leibniz 1684, likhetstegnet = av Robert Recorde 1557, parenteser bruktes av F. Vieta, rottegn √ av A. Girard 1629, eksponenter aⁿ av René Descartes 1637, tegnene > og < for større og mindre enn av T. Harriot 1631.

Den numeriske regningen ble revolusjonert gjennom John Napiers logaritmer (1614) og Henry Briggs' logaritmetabeller for grunntall 10 (1624, se logaritme). Studiet av geometrien skiftet karakter gjennom Descartes' innføring av koordinater og den analytiske geometri (1637). Dette lettet veien til 1600-tallets viktigste nyskapning, infinitesimalregningen, som består av differensial- og integralregning. Pierre de Fermat kan med god grunn regnes som en av differensialregningens skapere. Som infinitesimalregningens egentlige grunnleggere står imidlertid Isaac Newton (1642–1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716). Blant tidens mest fremtredende matematikere var de sveitsiske Bernoulli-brødrene (se Jakob Bernoulli og Johann Bernoulli) som særlig arbeidet innen variasjonsregningen og sannsynlighetsregningen, den produktive Leonhard Euler som arbeidet innenfor alle områder av matematikken, den franske matematikeren Pierre Simon Laplace, kjent for sine arbeider over celest mekanikk og sannsynlighetsregning, og J. L. Lagrange, kjent for undersøkelser over ligningsteori og variasjonsregning.

• Anbefalt litteratur