matematiske formler på tavle. Av /Shutterstock. Begrenset gjenbruk

matematikk

Artikkelstart

Matematikk er et fag som tidligere ble oppfattet som læren om tall og geometriske figurer. Nå blir faget mer generelt definert som vitenskapen om struktur, orden og relasjoner.

Faktaboks

Uttale
matematˈikk
Etymologi
av gresk ‘vitenskap’

Inndeling

Matematikken kan deles inn i en rekke fagområder. Det finnes flere måter å dele opp faget på, og de ulike områdene overlapper til en viss grad.

En mulig grovinndeling kan for eksempel dele matematikken i følgende emner:

  1. Logikk og mengdelære
  2. Kombinatorikk
  3. Aritmetikk og tallteori
  4. Algebra
  5. Geometri
  6. Matematisk analyse
  7. Numerisk analyse
  8. Statistikk og sannsynlighetsregning

Hver av disse disiplinene er igjen delt i en rekke delområder. Faget geometri omfatter for eksempel emner som topologi, differensialgeometri og fraktaler, projektiv geometri, algebraisk geometri, analytisk geometri og trigonometri. Og disiplinen matematisk analyse omfatter slike delområder som differensialligninger, harmonisk analyse, kompleks funksjonsteori av en og flere variable, samt sannsynlighetsteori.

Se hvert enkelt emne for nærmere beskrivelse og forklaring.

Oppbygning

Fraktaler beskrives innen differensialgeometrien. En fraktal kjennetegnes ved at når den forstørres, er en liten del av figuren nøyaktig lik en tilsvarende del av den opprinnelige figuren.

.
Lisens: Begrenset gjenbruk

Matematikken har utviklet seg fra problemer knyttet til telling og måling. Etter hvert som problemene som skulle løses, ble mer avanserte, ble det definert ulike typer tall, som naturlige tall, reelle tall, rasjonale tall og irrasjonale tall.

Moderne matematikk er bygd opp av logiske slutninger basert på grunnleggende antagelser, som kalles aksiomer. Videre er presise, kvantitative beregninger karakteristisk for matematikken, og det er også det spesielle symbolspråket, som brukes over stort sett hele verden.

Det presise symbolspråket har vært avgjørende for matematikkens utvikling. En annen faktor som har hatt stor betydning, er den økende graden av idealisering, generalisering og abstrahering i form og metode i moderne matematikk. Dette har gjort det mulig å angripe gamle problemer fra nye og uventede kanter, og å løse dem. Et eksempel er beviset av Fermats sats i 1995, et problem fra tallteorien som hadde stått uløst i 350 år.

På grunn av matematikkens fundamentale karakter har den alltid hatt stor betydning for utviklingen av andre naturvitenskaper, spesielt fysikk. I dag blir matematikken også anvendt i de kvantitative sidene av biovitenskapene, i medisin, psykologi, lingvistikk, økonomi og teknologi, for å nevne noen felter. Særlig for fremveksten av den moderne informasjonsteknologien har matematikken vært uunnværlig, og mange områder av matematikken som tidligere ble oppfattet som utelukkende teoretiske, har her fått en meget praktisk anvendelse. Statistikk er dessuten et fag som har betydning for alle former for forskning og vitenskap.

Det må også nevnes at påvirkningen har vært stor den andre veien. Problemstillinger fra både naturvitenskap og det praktiske liv har ført til utvikling av nye matematiske metoder og disipliner, og regnekraften i moderne datamaskiner har muliggjort resultater innen numerisk matematikk som tidligere ville ha vært utenkelige.

Det er et særtrekk ved matematikken at den har en dualistisk karakter: På den ene siden er faget en abstrakt mental aktivitet hvor estetiske og logiske prinsipper dominerer, og på den annen side brukes matematikken til å løse reelle og viktige problemer med stor gjennomslagskraft.

Liste over mye brukte symboler innen matematikk.
Av /Store norske leksikon ※.

Historisk utvikling

Babylonsk matematikk. På tavlen finnes utregning av annengradsligninger.

Av /KF-arkiv ※.
Gresk papyrus fra Nildalen med multiplikasjonstabeller, 5. århundre.
Neues Museum, Berlin.

Leirtavler som stammer fra sumererne og babylonerne fra ca. 2000 f.Kr. vitner om betydelige matematiske kunnskaper. På disse tavlene finner man forholdsvis kompliserte regninger av forskjellig slag, for eksempel utregninger av kvadratrøtter, løsninger av andregradsligninger og beregning av arealer og volumer. På denne tiden var egypternes kjennskap til matematikk av mer elementær karakter, noe som blant annet vises av Ahmes bok Papyrus Rhind fra ca. 1700 f.Kr.

Æren for å ha skapt matematikk som vitenskap tilkommer likevel grekerne, selv om de hadde arvet mange matematiske kunnskaper fra babylonerne. Kjennskapet til de første greske matematikerne, Thales fra Milet (ca. 625–545 f.Kr.) og pytagoreerne (ca. 500 f.Kr.) er mangelfullt, men hos Evdoxos fra Knidos (409–356 f.Kr.) og Evklid (ca. 300 f.Kr.) finner man den matematiske teorien i den form som den ennå har. Evklids Elementer er det verket i gresk matematikk som har hatt størst innflytelse. Verket gir grunnlaget for den greske geometrien, og helt til 1800-tallet var det den mest brukte læreboken i elementær geometri.

Høydepunktene i den greske matematikken representeres ved Apollonios fra Perga (265–190 f.Kr.) og Arkimedes (287–212 f.Kr.). I motsetning til den babylonske matematikkens rent regnemessige og algebraiske form var gresk matematikk hovedsakelig av geometrisk karakter. Grunnen til at grekerne foretrakk geometrien, kan spores tilbake til pytagoreernes oppdagelse av inkommensurable størrelser og vanskelighetene med å gi en tilfredsstillende innføring av irrasjonale tall. Senere i den aleksandrinske perioden av gresk matematikk ble mer algebraiske metoder utviklet, og særlig må nevnes at Diofantos fra Alexandria (ca. 300 e.Kr.), Hipparkhos (ca. 190–125 f.Kr.) og Klaudios Ptolemaios (ca. 140 e.Kr.) skapte trigonometrien i forbindelse med astronomiske undersøkelser.

I India, Japan og Kina hadde man matematiske kunnskaper av betydning alt før Kristi fødsel. Det har vært vanskelig å avgjøre i hvilken grad dette skyldes en uavhengig utvikling eller babylonsk og gresk påvirkning. En senere indisk periode – Brahmagupta (ca. 630 e.Kr.) og Bhaskara (ca. 1150 e.Kr.) – brakte originale undersøkelser innen tallteorien. Araberne var grekernes arvtagere innen matematikken, og en rekke klassiske greske verker er bare kjent gjennom de arabiske oversettelser. Blant de mest fremtredende arabiske matematikere var Al-Karkhi (ca. 1000 e.Kr.), poeten Omar Khayyam (ca. 1100 e.Kr.), og særlig Mohamed Ibn Musa al- Khwarizmî (ca. 820 e.Kr.), som gjennom sine verker bidrog til å gjøre regningen med det indisk-arabiske tallsystemet kjent i Europa.

Romerne viste liten interesse for matematikkens utvikling, og i Europa lå de matematiske kunnskapene på et lavmål gjennom størstedelen av middelalderen. Den eneste europeiske matematikeren av betydning fra denne perioden er Leonardo Pisano Fibonacci, hvis verk Liber abaci (1202), om enn arabisk påvirket, viser en ualminnelig matematisk innsikt og originalitet. I renessansetiden ble en rekke antikke verker kjent i latinske oversettelser. En norditaliensk matematisk skole utviklet seg ca. 1500 med universitetet i Bologna som sentrum. Den skapte viktige resultater innenfor algebra og ligningsteori. Scipione del Ferros løsning av tredjegradsligninger ble offentliggjort først i Girolamo Cardanos verk Ars Magna (1545), og her finnes også Lodovico Ferraris løsning av fjerdegradsligningen. En sluttstein på disse undersøkelser er Niels Henrik Abels senere påvisning (1824) av at femtegradsligninger i alminnelighet ikke kan løses ved rotutdragning.

De tidligste matematiske tekstene kunne bare illustrere de alminnelige reglene ved hjelp av eksempler. I mange tilfeller utviklet det seg en synkopert algebra med faste forkortelser for de uttrykkene som forekom oftest. Ikke før på 1500-tallet begynte den bevisste utbyggingen av et matematisk tegnspråk. Det å innføre bokstaver for å betegne vilkårlige størrelser var et viktig skritt som skyldes den franske matematikeren François Viète (ca. 1580). Først med Gottfried Wilhelm Leibniz og Leonhard Euler kan man si at tegnspråket ble noenlunde gjennomført.

Noen av de vanligste matematiske symbolene, med tidspunktet for deres tidligste forekomst er følgende:

Den numeriske regningen ble revolusjonert gjennom John Napiers logaritmer (1614) og Henry Briggs' logaritmetabeller for grunntall 10 (1624, se logaritme). Studiet av geometrien skiftet karakter gjennom Descartes' innføring av koordinater og analytisk geometri (1637). Dette lettet veien til 1600-tallets viktigste nyskapning, infinitesimalregningen, som består av differensial- og integralregning.

Pierre de Fermat kan med god grunn regnes som en av differensialregningens skapere. Som infinitesimalregningens egentlige grunnleggere står imidlertid Isaac Newton (1642–1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716). Blant tidens mest fremtredende matematikere var de sveitsiske Bernoulli-brødrene (Jakob Bernoulli og Johann Bernoulli), som særlig arbeidet innen variasjonsregningen og sannsynlighetsregningen, den produktive Leonhard Euler, som arbeidet innenfor alle områder av matematikken, den franske matematikeren Pierre Simon Laplace, kjent for sine arbeider over celest mekanikk og sannsynlighetsregning, og Joseph Louis Lagrange, kjent for undersøkelser over ligningsteori og variasjonsregning.

Moderne matematikk

Det er ikke mulig gi en kortfattet beskrivelse av den nyere fasen av matematikkens utvikling som begynte på 1800-tallet; det henvises til spesialartikler. En rekke nye grener er vokst frem. Nye krav til logisk stringens ble stilt av Niels Henrik Abel, Augustin Louis Cauchy og Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. Et nytt syn på ikke bare geometriens, men på hele matematikkens natur har sin rot i Johann Carl Friedrich Gauss', Nikolaj Ivanovitsj Lobatsjevskijs og J. Bolyais (se Farkas Bolyai) studier av ikke-evklidske geometrier. Etter den greske oppfatningen var de matematiske aksiomene å anse som selvinnlysende sannheter; et eksempel er Evklids parallellaksiom som sier at det gjennom et punkt utenfor en linje bare kan trekkes én parallell med linjen. Utviklingen av de ikke-evklidske geometriene viste at det er fullt mulig å ha logisk konsistente systemer under antagelsen at det ikke finnes noen paralleller, eller at det eksisterer uendelig mange. Dette førte til det syn at aksiomene snarere må tenkes som forutsetninger som er forholdsvis vilkårlig valgbare . Denne oppfatningen har hatt en gjennomgripende betydning for matematikkens videre utvikling, særlig på 1900-tallet, og har ført til en tidligere uant ekspansjon, både ved at klassiske disipliner er blitt utvidet og generalisert, og ved at nye er skapt.

De to hoveddisiplinene som særlig er blitt influert av en stadig økende abstraksjon, er algebraen og topologien. Svært mye av matematikken bygger nå på de grunnleggende ideene innen disse områdene, slik disse for eksempel ble fremstilt i et omfattende samleverk av Nicolas Bourbaki. De vesentlige spørsmålene i forbindelse med matematikkens grunnlag tas opp først og fremst i mengdelæren og i matematisk logikk. Den østerrikske (senere amerikanske) matematikeren og logikeren Kurt Gödel innehar her en enestående posisjon, og hans påvisning av begrensningene i den deduktive metode er av fundamental betydning både for logikken og filosofien.

Datarevolusjonen i siste halvdel av 1900-tallet har hatt en enorm innflytelse på matematikken, og ville i sin tur ikke ha vært mulig uten matematikken som verktøy. Typisk er at felter som tidligere ble oppfattet som «ren» matematikk (i motsetning til anvendt, eller anvendbar matematikk) har vist seg å ha gjennomgripende innflytelse på matematikkens og informasjonsteknologiens utvikling. Logikken danner selve grunnlaget for datamaskiner og programmering; kombinatorikk og grafteori er sentrale verktøy i konstruering og verifisering av dataprogrammer; behovet for å beregne kompleksiteten til beregningsmetoder har ført til utviklingen av et nytt delemne innen matematikken, med utstrakt bruk av asymptotiske funksjoner. Kodeteorien, som brukes i all digital koding av informasjon, tar i bruk abstrakt algebra, og i kryptografien har også faget tallteori, som tidligere ble oppfattet som den kanskje mest teoretiske delen av matematikken, fått en svært viktig og avgjørende praktisk betydning.

Et annet særtrekk ved den moderne matematikken er diversiteten i bruk av metoder, og den utstrakte koblingen mellom tidligere atskilte områder. Anvendelse av geometriske metoder innen den matematiske analysen er et eksempel; bruk av tallteori og sannsynlighetsregning for konstruksjon og testing av algoritmer er et annet. I bildebehandling, og også innen matematisk modellering, brukes en kombinasjon av statistiske metoder, numerisk analyse og enorm regnekraft.

Les mer i Store norske leksikon

Eksterne lenker

Litteratur

  • Holme, Audun: Matematikkens historie, 2. rev. utg., 2008-, 2 b.

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg