funksjon - matematikk

En funksjon (eller avbildning) er en regel som til ethvert element i en mengde M tilordner ett og kun ett element i en mengde N. (I mange tilfeller er M = N.) M kalles funksjonens definisjonsområde, definisjonsmengde eller argumentområde/-mengde, og vi sier at den antar sine verdier i N (bildeområdet el. bildemengden). Om den gitte funksjon betegnes med f, skriver en f(a) = b, hvis b er det element i N som svarer til elementet a i M.

Funksjonen kalles injektiv hvis den alltid avbilder to forskjellige elementer i definisjonsområdet M på to forskjellige elementer i N. Hvis hvert element i N kan skrives på formen f(a), med a i M, kalles f surjektiv; vi sier at f avbilder M på N. En funksjon som er både injektiv og surjektiv, kalles bijektiv (eller en-entydig). I mange klassiske tilfeller er både M og N mengder av reelle eller komplekse tall. Hvis både M og N er mengder av reelle tall, snakker vi om reelle funksjoner av en variabel, og hvis de begge består av komplekse tall, har vi en kompleks funksjon av en variabel. Vi sier at vi har en reell funksjon f av to variable dersom M er en mengde av ordnede tallpar (a, b), hvor a og b er reelle tall, mens N er en mengde av reelle tall. Det reelle tallet c som ved funksjonen f svarer til (a, b), skrives da c = f(a, b). Tilsvarende kan vi operere med tre variable, og vi snakker generelt om reelle og komplekse funksjoner av flere variable.

Studiet av reelle og komplekse funksjoner av en eller flere variable utgjør hovedtyngden av det man vanligvis kaller matematisk analyse og omfatter store, klassiske områder av matematikken, som f.eks. differensialregning, integralregning og kompleks funksjonsteori. I den komplekse funksjonsteori av en variabel (ofte kalt bare funksjonsteori) studeres først og fremst komplekse funksjoner som er deriverbare – de såkalte analytiske funksjoner. I den senere tid har også komplekse funksjoner av flere variable fått en stadig større betydning.

Av viktige, spesielle funksjoner både i det reelle og det komplekse tilfellet kan nevnes polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, trigonometriske funksjoner, eksponensialfunksjoner og logaritmefunksjoner. Det er først og fremst ut fra disse mer konkrete funksjoner og deres mange anvendelser at funksjonsbegrepet gradvis har utviklet seg til å bli det helt generelle begrep «avbildning mellom mengder» som det er i dag.