funksjon (matematikk)

Funksjonen kalles injektiv hvis den alltid avbilder to forskjellige elementer i definisjonsområdet M på to forskjellige elementer i N. Hvis hvert eneste element i N kan skrives på formen f(a), med a i M, kalles f surjektiv; vi sier at f avbilder M på N. En funksjon som er både injektiv og surjektiv, kalles bijektiv (eller en-entydig).

For eksempelet ovenfor med trekanter er definisjonsmengden M mengden av alle trekanter, og N likde positive reelle tallene. Funksjonen er surjektiv fordi det fins trekanter med vilkårlig areal, men den er ikke injektiv, siden det fins forskjellige trekanter som har samme areal. Merk at denne regelen er en matematisk funksjon selv om vi ikke har angitt et funksjonsutrykk for funksjonen. Funksjonen ovenfor med fødselsnummer er ikke injektiv siden det fins flere mennesker som er født samme dag. Her er definisjonsmengden M mengden av alle aktive fødselsnummer. Om bildeområdet N erlik mengden av alle sekssifrede naturlige tall, er funksjonen ikke surjektiv, siden for eksempel heltallet 404040 ikke svarer til en dato. Men om N begrenses til alle sekssifrede tall som kommer fra en dato, blir funksjonen surjektiv (om vi antar det fødes minst ett menneske hver dag i Norge). Funksjonen f(x) = 2x er surjektiv når M og N begge er de reelle tallene, men den er ikke surjektiv om M og N begge er heltallene, siden for eksempel halvparten av 3 ikke er et heltall.

I mange klassiske tilfeller er både M og N mengder av reelle tall eller komplekse tall. Hvis både M og N er mengder av reelle tall, snakker vi om reelle funksjoner av en variabel, og hvis de begge består av komplekse tall, har vi en kompleks funksjon av en variabel.

Vi sier at vi har en reell funksjon f av to variable dersom M er en mengde av ordnede tallpar (a, b), hvor a og b er reelle tall, mens N er en mengde av reelle tall. Det reelle tallet c som ved funksjonen f svarer til (a, b), skrives da c = f (a, b). Tilsvarende kan vi operere med tre variable, og vi snakker generelt om reelle og komplekse funksjoner av flere variable.

Studiet av reelle og komplekse funksjoner av en eller flere variable utgjør hovedtyngden av det man vanligvis kaller matematisk analyse og omfatter store, klassiske områder av matematikken, som for eksempel differensialregning, integralregning og kompleks funksjonsteori.

Innen kompleks funksjonsteori av en variabel (ofte kalt bare funksjonsteori) studeres først og fremst komplekse funksjoner som kan deriveres (er deriverbare) – de såkalte analytiske funksjoner. I moderne tid har også komplekse funksjoner av flere variable fått en stadig større betydning.

Av viktige, spesielle funksjoner både i det reelle og det komplekse tilfellet kan nevnes polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, trigonometriske funksjoner, eksponensialfunksjoner og logaritmefunksjoner. Det er først og fremst ut fra disse mer konkrete funksjonene og deres mange anvendelser at funksjonsbegrepet gradvis har utviklet seg til å bli det helt generelle begrep «avbildning mellom mengder» som det er i dag.

• matematisk analyse
• derivasjon