differensialgeometri

Differensialgeometri, anvendelse av differensial- og integralregning på geometriske problemer, i første rekke knyttet til kurver og flater i rommet. Differensialregning behandler grenseoverganger, og i differensialgeometri studerer man særlig lokale egenskaper, dvs. grenseegenskaper når man nærmer seg et gitt punkt. For plane kurver behandles tangenter, normaler, krumning og berøring av kurver, egenskaper ved kurvesystemer m.m., i rommet studeres også spesielle kurver på flater (krumningslinjer, geodetiske kurve) og spesielle flater (linjeflater, minimalflater).

Differensialgeometriske problemer i planet inngikk organisk i differensialregningen fra dens begynnelse. Som grunnleggeren av den systematiske differensialgeometri i rommet regnes Carl Friedrich Gauss (Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827). Et vesentlig bidrag til utviklingen av generell differensialgeometri gav Bernhard Riemann (Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, 1854). Han betraktet også differensialgeometri for vilkårlige dimensjoner, noe som danner grunnlaget for Einsteins generelle relativitetsteori. Moderne differensialgeometri undersøker ikke bare kurver og flater, men mer generelt det man kaller mangfoldigheter, noe som har brakt faget i nær kontakt med disiplinen topologi.