Grense, 1) Dersom et tall a ikke er nøyaktig bestemt, men man vet at det ligger mellom to gitte tall, så kalles disse to tall øvre og nedre grense for a. For eksempel gav Arkimedes de øvre og nedre grenser 31/7 og 310/71for π.

2) En tallfølge (se følge) a1, a2, ..., an, ... sies å nærme seg en grense hvis det eksisterer et tall a slik at det til ethvert positivt tall ε, uansett hvor lite, kan finnes en indeks n0 som gjør at |an−a|<ε for alle n>n0; med andre ord skal differensen an−a (i tallverdi) bli vilkårlig liten når bare n gjøres tilstrekkelig stor. Man kaller da a for tallfølgens grenseverdi og skriver \[a = \lim_{n \to \infty} a_n\]

Her er lim forkortelse for latin limes, 'grense', og tegnet ∞ betyr uendelig. Selve prosessen å finne grenseverdien kalles en grenseovergang eller en grenseprosess.

Tallfølgen sies å være konvergent hvis det eksisterer en grense, i motsatt fall sies den å være divergent. Eksempler:

A) Tallfølgen 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/n+1, ... er konvergent med grenseverdien 1.

B) Tallfølgen 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n, ... er konvergent med grenseverdien 0.

C) Tallfølgen 1, 2, 3, ..., n, ... er divergent.

D) Tallfølgen +1, −1, +1, −1, ... er divergent.

Egenskapene ved grenseoverganger studeres i den matematiske analyse. Blant de mest alminnelige grenseoverganger kan nevnes summering av uendelige rekker. En rekke a1 + a2 ... + an + ... sies å være konvergent og ha summen s dersom tallfølgen s1 = a1, s2 = a1 + a2, ... har grenseverdien s. I motsatt fall sies rekken å være divergent.

Vi kan også studere grenseoverganger for funksjoner. En (entydig) funksjon f(x) sies å ha en grense A i et punkt a hvis \[\lim_{n \to \infty} f(a_n) = A\]

For enhver tallfølge a1, a2, ... med grenseverdien a; det vil si når x nærmer seg a, skal funksjonsverdiene f(x) nærme seg A. Man skriver da \[\lim_{x \to a} f(x) = A\]

En rekke av de viktigste begreper både innen reell og kompleks analyse er definert ved slike grenseprosesser, for eksempel er den deriverte funksjon f ʹ(x) definert som grenseverdien \[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.