konvergens (matematikk)

Artikkelstart

Konvergens er i matematikken det å nærme seg en grense.

Faktaboks

Uttale: konvergˈens
Etymologi: til konvergere

En uendelig tallfølge a₁, a₂, ... sies å konvergere mot et tall g hvis tallfølgen nærmer seg g som sin grense, det vil si at tallene i følgen kommer nærmere og nærmere g jo lengre ut i følgen man kommer. Da er tallfølgen konvergent.

Eksempel: Tallfølgen \[\ \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},..., \frac{1}{i}, ...\]

konvergerer mot grensen 0, fordi tallene i følgen kommer nærmere og nærmere 0.

Hvis det ikke eksisterer en slik grense, er følgen divergent. Da sier man at rekken divergerer.

En uendelig rekke b₁ + b₂ + ... sies å være konvergent hvis følgen s_n = b₁ + b₂ + ... + b_n konvergerer mot en grense s, rekkens sum. En rekke sies å være absolutt konvergent hvis rekken av tallverdier (absolutte verdier) |b₁| + |b₂| + ... konvergerer.

Kriterier for konvergens

Det finnes forskjellige regler, såkalte konvergenskriterier, til undersøkelse av en rekkes konvergens. For at en rekke skal konvergere, må for eksempel leddene b_n nærme seg null som sin grense. Men denne betingelsen er ikke tilstrekkelig for konvergens. Den harmoniske rekken \(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... \) er for eksempel ikke konvergent, selv om leddene nærmer seg null.

Et av de enkleste konvergenskriteriene er Jean Le Rond d'Alemberts: En rekke er konvergent hvis \[\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| < r < 1\] for et fast tall r og tilstrekkelig store n. En rekke er også konvergent hvis leddene går mot null med avvekslende fortegn (en slik rekke sies å være alternerende).

I funksjonsteorien studeres ofte rekkeutviklinger av formen R = a₁f₁(x) + a₂f₂(x) + ... hvor f_i (x) er visse funksjoner. De verdiene av x som rekken konvergerer for, kalles dens konvergensområde. For en potensrekke a₀ + a₁x + a₂x² + ... er konvergensområdet i det komplekse plan alltid en sirkel. Radien i denne sirkelen kalles rekkens konvergensradius.

Lignende konvergensundersøkelser som dem som er nevnt her for uendelige summer, kan gjennomføres for andre uendelige prosesser, for eksempel uendelige produkter.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

Fagansvarlig for Matematisk analyse

Helge Holden

Professor, NTNU – Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet