Evklid forsøkte å gi et rent aksiomatisk grunnlag for elementærgeometri, men hans system tilfredsstiller ikke de moderne logiske krav, og blant annet David Hilbert, Henri Poincaré og Oswald Veblen har oppstilt mer stringente systemer. Særlig kjent er Hilberts Grundlagen der Geometrie (1899), der han forsøker å oppstille et mer rigorøst og konsistent system.
Evklids femte postulat eller parallellaksiomet, som uttrykker at gjennom et punkt utenfor en linje kan det bare trekkes én parallell med linjen, er ikke like intuitivt innlysende som hans øvrige aksiomer. Allerede Johann Carl Friedrich Gauss var klar over at man kan konstruere geometrier hvor dette aksiomet ikke er oppfylt, men først J. Bolyai (1832, se Farkas Bolyai) og Nikolaj Ivanovitsj Lobatsjevskij (1836) offentliggjorde teorier for ikke-evklidske geometrier. Begge studerte såkalte hyperbolske geometrier, hvor parallellaksiomet ikke er oppfylt, idet det eksisterer et uendelig antall paralleller gjennom et punkt. Italieneren Eugenio Beltrami beviste (1868) at disse geometriene er like logisk konsistente som den evklidske geometrien. Senere påviste Bernhard Riemann eksistensen av elliptiske geometrier, hvor det er Evklids andre aksiom som ikke er oppfylt, og ingen paralleller eksisterer.
I sitt kjente skrift Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (1854) viser Riemann også hvordan en mer generell form for geometri kan avledes ved en metrikk eller avstandsdefinisjon. Blant de viktigste bidragene til klassifiseringen av de forskjellige geometrier må man også nevne F. Kleins Erlangen-programmet (1872), hvor han påviser at de geometriske egenskaper er invarianter for en gruppe som geometrien definerer.
På 1900-tallet gjennomgikk geometrien en revolusjonerende utvikling – ikke minst på grunn av fremkomsten av den algebraiske topologi (se homologi, homotopi og algebraisk geometri). Karakteristisk for denne utviklingen var at et meget avansert algebraisk apparat ble trukket inn som et dominerende hjelpemiddel i en rekke geometriske studier og teorier.
I de siste tiårene har dette har ført til et tettere samspill mellom geometri og andre vitenskapelige disipliner. Ett eksempel er at teknikker fra algebraisk geometri spilte en avgjørende rolle i Andrew John Wiles' bevis for Fermats sats (som i utgangspunktet er et rent tallteoretisk problem). Et annet eksempel er at Edward Wittens arbeider om fysisk superstrengteori har åpnet helt nye perspektiver i differensialgeometri og algebraisk geometri. Et tredje eksempel er Alain Connes' ambisiøse prosjekt om ikke-kommutativ geometri.
Kommentarer
Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.
Du må være logget inn for å kommentere.