Geometri
Geometri var regnet som en av de sju frie vitenskaper: Astronomi, geometri, musikk, aritmetikk, dialektikk, grammatikk og retorikk. Maleri fra 1649 av Laurent de La Hyre.
Av .

Geometri er en del av matematikken som opprinnelig omhandlet punkter, linjer, vinkler, kurver, flater, figurer og legemer. Trigonometri er en del av den klassiske geometrien.

Faktaboks

Uttale
geometrˈi
Etymologi
av geo- og -metri, egentlig ‘måling av jordstykker’

Geometriske figurer er en upresis fellesbetegnelse på figurer som er satt sammen av elementer som rette linjer, mangekanter, ellipser og sirkler, kjeglesnitt og så videre.

Etter hvert har geometrien utviklet seg langt ut over den opprinnelige rammen. I moderne matematikk omfatter geometrien mange teorier som ikke direkte kan fremstilles som egenskaper ved vanlige romstørrelser, men som likevel regnes til geometrien, enten på grunn av den historiske utviklingen eller fordi teoriene har et logisk slektskap med rent geometriske teorier.

Historikk

Eldre historie

Gresk papyrus fra Theadelphia med geometriske oppgaver, datert ca. 140.
Neues Museum, Berlin.

Allerede de gamle egypterne, og særlig babylonerne, hadde inngående kunnskaper om flate- og rommåling. Men det var først og fremst i det gamle Hellas at de geometriske kunnskapene ble bygd opp i et logisk system. De mest betydningsfulle for denne utviklingen var Evdoxos (død rundt 350 fvt.) og spesielt Euklid (rundt 300 fvt.). Hans Elementer (som systematiserer ideer helt tilbake til Pytagoras) behandler både plangeometrien (læren om plane figurer) og stereometrien (romgeometrien), og forsøker å gi et deduktivt system som grunnlag for geometrien. Elementer ble brukt som lærebok i matematikk i over to tusen år, og helt fram til slutten av 1800-tallet ble euklidsk geometri regnet som den eneste geometrien.

Som høydepunkter i den greske geometrien på 200-tallet fvt. regnes Arkimedes' areal- og volumberegninger og Apollonios' lære om kjeglesnittene. Grunnlaget for trigonometrien ble i hovedsaken gitt av Ptolemaios (rundt 130 evt.), mens viktige bidrag kom fra senere arabiske astronomer og matematikere. Arabiske og indiske matematiske skoler bidrog ellers forholdsvis lite til geometriens utvikling.

Nyere historie

I Vest-Europa finner man først vesentlige fremskritt gjennom Johannes Kepler, Bonaventura Cavalieri og Pierre de Fermat. De skapte en retning i geometrien som kan føres tilbake til Arkimedes' metoder, og som etter hvert ledet over i infinitesimalregningen. Dette hjelpemiddelet ga, sammen med René Descartes' koordinatgeometri eller analytiske geometri (1637), grunnlaget for en stadig geometrisk utvikling som fører til moderne algebraisk geometri og differensialgeometri. Innen disse grenene av geometrien gjør den analytiske formuleringen det naturlig å utvide teorien til vilkårlige n-dimensjonale rom. En teori som relativitetsteorien på sin generelle form kan oppfattes som en spesiell gren av differensialgeometri.

Nær knyttet til differensialgeometri er vektorregningen, som i sine hovedtrekk skyldes William Rowan Hamilton, Herman Günther Grassmann og Josiah Willard Gibbs. En nyere gren er tensorregningen, som særlig er utviklet gjennom arbeider av de italienske matematikerne Curbastro Gregorio Ricci og Tullio Levi-Cività. I forbindelse med differensialgeometri bør man også nevne den østerrikske matematikeren Wilhelm Blaschkes (1885–1962) såkalte integralgeometri.

Syntetisk geometri, hvor de geometriske resultatene avledes ved hjelp av postulerte egenskaper ved de geometriske grunnbegrepene som linje, flate og så videre, uten anvendelse av koordinater, ble lenge overskygget av den analytiske geometrien. Men på begynnelsen av 1800-tallet fikk den syntetiske geometrien et nytt oppsving: i Frankrike gjennom Gaspard Monge og Jean Victor Poncelet, i Tyskland gjennom Karl Georg Christian von Staudt, Jakob Steiner og August Ferdinand Möbius. Poncelet regnes for grunnleggeren av projektiv geometri, som også i en noe annen form blir fremstilt i von Staudts Geometrie der Lage, og som Johannes Kepler hadde lagt ned forarbeidet til. Monge skapte den systematiske deskriptive geometrien.

Moderne geometri

Euklid forsøkte å gi et rent aksiomatisk grunnlag for elementærgeometri. Hans system tilfredsstiller imidlertid ikke moderne logiske krav, og blant annet David Hilbert, Henri Poincaré og Oswald Veblen har oppstilt mer stringente systemer. Særlig kjent er Hilberts Grundlagen der Geometrie (1899), der han forsøkte å oppstille et mer rigorøst og konsistent system.

Euklids femte postulat, kjent som parallellaksiomet, som uttrykker at gjennom et punkt utenfor en linje kan det bare trekkes én parallell med linjen, er ikke like intuitivt innlysende som hans øvrige aksiomer. Allerede Johann Carl Friedrich Gauss var klar over at det er mulig å konstruere geometrier hvor dette aksiomet ikke er oppfylt, men først János (Johannes) Bolyai (1832) og Nikolaj Ivanovitsj Lobatsjevskij (1836) offentliggjorde teorier for ikke-euklidske geometrier. Begge studerte såkalte hyperbolske geometrier, hvor parallellaksiomet ikke er oppfylt, idet det eksisterer et uendelig antall paralleller gjennom et punkt. Italieneren Eugenio Beltrami beviste (1868) at disse geometriene er like logisk konsistente som den euklidske geometrien. Senere påviste Bernhard Riemann eksistensen av elliptiske geometrier, hvor det er Euklids andre aksiom som ikke er oppfylt, og ingen paralleller eksisterer.

I sitt kjente skrift Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (1854) viste Riemann også hvordan en mer generell form for geometri kan avledes ved en metrikk eller avstandsdefinisjon. Blant de viktigste bidragene til klassifiseringen av de forskjellige geometrier må man også nevne Felix Kleins Erlangen-programmet (1872), hvor han påviste at de geometriske egenskaper er invarianter for en gruppe som geometrien definerer.

På 1900-tallet gjennomgikk geometrien en revolusjonerende utvikling – ikke minst på grunn av fremkomsten av algebraisk topologi (se homologi, homotopi og algebraisk geometri). Karakteristisk for denne utviklingen var at et svært avansert algebraisk apparat ble trukket inn som et dominerende hjelpemiddel i en rekke geometriske studier og teorier.

Fra 1980-årene og framover har dette har ført til et tettere samspill mellom geometri og andre vitenskapelige disipliner. Ett eksempel er at teknikker fra algebraisk geometri spilte en avgjørende rolle i Andrew John Wiles' bevis for Fermats sats (som i utgangspunktet er et rent tallteoretisk problem). Et annet eksempel er at Edward Wittens arbeider om fysisk superstrengteori har åpnet helt nye perspektiver i differensialgeometri og algebraisk geometri. Et tredje eksempel er Alain Connes' ambisiøse prosjekt om ikke-kommutativ geometri.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg