Geometri, gren av matematikken som opprinnelig omhandlet romstørrelser, dvs. punkter, linjer, kurver, flater og legemer, og deres beliggenhet, form og størrelse. Etter hvert har imidlertid geometrien utviklet seg ut over denne opprinnelige rammen, og omfatter i moderne matematikk mange teorier som ikke direkte kan anskueliggjøres som egenskaper ved vanlige romstørrelser, men som likevel tradisjonsmessig regnes til geometrien; enten på grunn av den historiske utviklingen eller på grunn av deres logiske slektskap med rent geometriske teorier.
Historikk
Eldre historie
Gresk papyrus fra Theadelphia med geometriske oppgaver, datert ca. 140.
Neues Museum, Berlin.
av Lars Mæhlum. Gjengitt med tillatelse
Allerede de gamle egypterne, og særlig babylonerne, hadde inngående kunnskaper om flate- og rommåling. Imidlertid var det først og fremst i det gamle Hellas at de geometriske kunnskapene ble bygd opp i et logisk system. De mest betydningsfulle for denne utviklingen var Evdoxos (død ca. 350 f.Kr.) og spesielt Evklid (ca. 300 f.Kr.). Hans Elementer (som systematiserer ideer helt tilbake til Pytagoras) behandler både plangeometrien (læren om plane figurer) og stereometrien (romgeometrien), og forsøker å gi et deduktivt system som grunnlag for geometrien. Elementer ble brukt som lærebok i matematikk i over to tusen år, og inntil slutten av 1800-tallet ble evklidsk geometri regnet som den eneste geometrien.
Som høydepunkter i den greske geometrien på 200-tallet f.Kr. må man regne Arkimedes' areal- og volumberegninger og Apollonios' lære om kjeglesnittene. Grunnlaget for trigonometrien ble i hovedsaken gitt av Ptolemaios (ca. 130 e.Kr.), mens viktige bidrag skyldes senere arabiske astronomer og matematikere. De arabiske og indiske matematiske skoler bidrog ellers forholdsvis lite til geometriens utvikling.
Nyere historie
I Vest-Europa finner man først vesentlige fremskritt gjennom Johannes Kepler (død 1630), Bonaventura Cavalieri (død 1647) og Pierre de Fermat (død 1665). De skaper en retning i geometrien som kan føres tilbake til Arkimedes' metoder og som etter hvert leder over i infinitesimalregningen. Dette hjelpemiddelet gir, sammen med René Descartes' koordinatgeometri eller analytiske geometri (1637), grunnlaget for en stadig geometrisk utvikling som fører til den moderne algebraiske geometri og differensialgeometri. Innen disse grener av geometrien gjør den analytiske formuleringen det naturlig å utvide teorien til vilkårlige n-dimensjonale rom, og en teori som relativitetsteorien på sin generelle form kan oppfattes som en spesiell gren av differensialgeometri.
Nær knyttet til differensialgeometri er vektorregningen, som i sine hovedtrekk skyldes William Rowan Hamilton, Herman Günther Grassmann og Josiah Willard Gibbs. En nyere gren er tensorregningen (den absolutte differensialgeometri, se tensor), som særlig er utviklet gjennom arbeider av de italienske matematikerne Curbastro Gregorio Ricci og Tullio Levi-Cività. I forbindelse med differensialgeometri bør man også nevne den østerrikske matematikeren Wilhelm Blaschkes (1885–1962) såkalte integralgeometri.
Den syntetiske geometri, hvor de geometriske resultater avledes ved hjelp av postulerte egenskaper ved de geometriske grunnbegreper som linje, flate osv. uten anvendelse av koordinater, ble lenge overskygget av den analytiske geometri. Men på begynnelsen av 1800-tallet får den syntetiske geometrien et nytt oppsving; i Frankrike gjennom Gaspard Monge og Jean Victor Poncelet, i Tyskland gjennom K. G. C. von Staudt, Jakob Steiner og August Ferdinand Möbius. Poncelet regnes for grunnleggeren av den projektive geometri, som også i en noe annen form blir fremstilt i von Staudts Geometrie der Lage, og som Johannes Kepler hadde lagt ned forarbeidet til. Monge skapte den systematiske deskriptive geometri.
Moderne geometri
Evklid forsøkte å gi et rent aksiomatisk grunnlag for elementærgeometri, men hans system tilfredsstiller ikke de moderne logiske krav, og bl.a. David Hilbert, Henri Poincaré og Oswald Veblen har oppstilt mer stringente systemer. Særlig kjent er Hilberts Grundlagen der Geometrie (1899), der han forsøker å oppstille et mer rigorøst og konsistent system.
Evklids femte postulat eller parallellaksiomet, som uttrykker at gjennom et punkt utenfor en linje kan det bare trekkes én parallell med linjen, er ikke like intuitivt innlysende som hans øvrige aksiomer. Allerede Johann Carl Friedrich Gauss var klar over at man kan konstruere geometrier hvor dette aksiomet ikke er oppfylt, men først J. Bolyai (1832, se Farkas Bolyai) og Nikolaj Ivanovitsj Lobatsjevskij (1836) offentliggjorde teorier for ikke-evklidske geometrier. Begge studerte såkalte hyperbolske geometrier, hvor parallellaksiomet ikke er oppfylt, idet det eksisterer et uendelig antall paralleller gjennom et punkt. Italieneren Eugenio Beltrami beviste (1868) at disse geometriene er like logisk konsistente som den evklidske geometrien. Senere påviste Bernhard Riemann eksistensen av elliptiske geometrier, hvor det er Evklids andre aksiom som ikke er oppfylt, og ingen paralleller eksisterer.
I sitt kjente skrift Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (1854) viser Riemann også hvordan en mer generell form for geometri kan avledes ved en metrikk eller avstandsdefinisjon. Blant de viktigste bidragene til klassifiseringen av de forskjellige geometrier må man også nevne F. Kleins Erlangen-programmet (1872), hvor han påviser at de geometriske egenskaper er invarianter for en gruppe som geometrien definerer.
På 1900-tallet gjennomgikk geometrien en revolusjonerende utvikling – ikke minst pga. fremkomsten av den algebraiske topologi (se homologi, homotopi og algebraisk geometri). Karakteristisk for denne utviklingen var at et meget avansert algebraisk apparat ble trukket inn som et dominerende hjelpemiddel i en rekke geometriske studier og teorier.
I de siste tiårene har dette har ført til et tettere samspill mellom geometri og andre vitenskapelige disipliner. Ett eksempel er at teknikker fra algebraisk geometri spilte en avgjørende rolle i Andrew John Wiles' bevis for Fermats sats (som i utgangspunktet er et rent tallteoretisk problem). Et annet eksempel er at Edward Wittens arbeider om fysisk superstrengteori har åpnet helt nye perspektiver i differensialgeometri og algebraisk geometri. Et tredje eksempel er Alain Connes' ambisiøse prosjekt om ikke-kommutativ geometri.
Kommentarer
Har du spørsmål om eller kommentarer til artikkelen?
Kommentaren din vil bli publisert under artikkelen, og fagansvarlig eller redaktør vil svare når de har mulighet.
Du må være logget inn for å kommentere.