matematisk analyse

Matematisk analyse, også kalt kalkulus, er et av hovedområdene i matematikken. Her handler det ofte om å bruke integraler og differensialer til å regne med og analysere størrelser som endrer seg og beveger seg. Begrepet uendelig er sentralt i den matematiske analysen, for eksempel når det gjelder uendelige rekker eller uendelig små (infinitesimale) endringer.

I sin videste forstand omfatter analysen hele den matematiske utviklingen som har sitt utgangspunkt i Isaac Newtons og Gottfried Wilhelm Leibniz' oppdagelse av differensial- og integralregningen av mot slutten av 1600-tallet. Siden den tid har det vokst frem flere mer eller mindre atskilte felter innenfor matematisk analyse. Disse omfatter uendelige rekker, variasjonsregning, differensialligninger, Fourieranalyse, kompleks analyse, vektor- og tensoranalyse, mål- og integrasjonsteori og funksjonalanalyse.

Utviklingen av differensial- og integralregningen introduserte mange ideer som var avgjørende for matematikkens senere historie. Nye teknikker for å beregne egenskaper ved funksjoner, for eksempel deres maksimum og minimum, areal- og volumberegning, kurvers vekst og krumning, endret karakteren av de spørsmål matematikken både kunne stille og besvare. Vesentlige begreper som uendelig nær approksimasjon (grenser) og relaterte teknikker for vilkårlig nær approksimasjon av løsninger til generelle ligninger, ble også innført.

Et annet viktig fremskritt var ideen om uendelige rekker: at en størrelse eller en funksjon kan uttrykkes som en sum av uendelig mange, mindre og mindre ledd. Newtons og Leibniz' umiddelbare etterfølgere, i første rekke Leonhard Euler og Bernoulli-familien, utvidet differensial- og integralregningens metoder, og etablerte analysen (med sine underdisipliner) som et sentralt område av matematikken på en måte som fortsatt er standard, selv om andre felter senere har kommet til.

Interessen for differensialligninger hadde sitt utspring i ønsket om å kunne beskrive bevegelse og andre fysiske prosesser matematisk. Til å begynne med søkte man eksplisitte løsninger av differensialligninger, men mot slutten av 1700-tallet ble det imidlertid klart at mange viktige problemer ikke hadde eksplisitte løsninger av denne typen. Dette gav støtet til en mer kvalitativ angrepsmåte, hvor man søkte å beskrive klasser av interessante funksjoner og deres vesentlige egenskaper, knyttet til spesielle ligninger.

Ved hjelp av differensial- og integralregningen anvendt på funksjoner av flere variable, studerte Carl Friedrich Gauss kurver og flater i rommet, og hans epokegjørende innsats på dette området gav opprinnelsen til differensialgeometrien. Joseph Fourier innførte i 1822 en helt ny idé ved å vise at vilkårlige funksjoner kan skrives som uendelige rekker av sinus- og cosinusfunksjoner med økende svingetall. Det er denne ideen som ligger til grunn for all senere matematisk forståelse av lyd, lys og bølger. Gjennom arbeidene til Augustin Louis Cauchy (og senere Bernhard Riemann) over kompleks funksjonsteori midt på 1800-tallet, ble det klart at det var en forbindelse mellom analyse og topologi. Denne forbindelsen var av avgjørende betydning for blant annet Einsteins generelle relativitetsteori.

Mot slutten av 1800-tallet vokste det frem en mer kritisk holdning til gyldigheten av en del av analysens slutninger og dens forutsetninger. Vesentlige her var arbeidene til Augustin Louis Cauchy, Richard Dedekind og Georg Cantor. De resulterte i stringente definisjoner av begreper som kontinuitet og deriverbarhet, basert på mer primitive mengde-teoretiske begreper. Dette førte etter hvert til at hele analysens struktur, slik den hadde blitt bygd opp gjennom de foregående to hundre år, kunne baseres på en håndfull enkle prinsipper. En annen konsekvens av denne fornyede og skjerpede innsikten i analysens grunnlag, var en kritisk revurdering av målebegrepet, som ligger til grunn for bestemmelse av areal og volum. Banebrytende her var Henri Lebesgues arbeider fra begynnelsen av 1900-tallet, hvor også et nytt og mer omfattende integralbegrep ble innført.

Fouriers oppdagelse (se ovenfor) er utgangspunkt for funksjonalanalysen. At en funksjon kan dekomponeres ved hjelp av en uendelig rekke, hvor leddene er enkle funksjoner, gjør at ideer og metoder fra vektorregningen kan overføres til denne mer generelle situasjonen. De grunnleggende ideene her går tilbake til David Hilbert fra perioden 1910–20, og fikk stor betydning for blant annet kvantemekanikkens utvikling. Dette nye feltet ble systematisk utviklet av John von Neumann og Stefan Banach ut mot midten av 1900-tallet, og er fortsatt i meget sterk utvikling. Funksjonalanalysen har også gitt dypere innsikt i forbindelsen mellom analyse, algebra og topologi.