En flate i geometrien kan litt forenklet beskrives som overflaten til et legeme, eller som en oppdeling av rommet i to deler. Det er vanskelig å gi en klar matematisk definisjon som nøyaktig inkluderer de punktmengdene som naturlig regnes som flater.

Flater kan defineres på forskjellig vis, ofte med noe forskjellig betydning etter de forskjellige anvendelsesområdene. I analytisk geometri og differensialgeometri defineres koordinatene til en flate ved ligninger

x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v),

Her er x, y, z funksjoner av to parametre u og v, og i alminnelighet antas de å ha (partielle) deriverte av første og annen orden. Flatens ligning kan bringes på formen z = f(x, y) eller implisitt F(x, y, z) = 0.

Dersom z er en algebraisk funksjon av x og y (det vil si at F er et polynom), er flaten algebraisk; ellers er den transcendent.

Ligningen z = ax + by + c fremstiller et plan, mens \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) fremstiller en ellipsoide (se figur 1) med halvaksene a, b, c.

En flate kan også defineres, eller tenkes fremkommet, ved at en kurve beveger seg i rommet. Kurven kalles da en generatrise, og hvis generatrisen er en rett linje, kalles flaten en linjeflate.

Et spesialtilfelle er utfoldelige (engelsk: developable) flater, som kan foldes ut plant uten å strekkes. Et eksempel på dette er en kjegleflate, se figur 2.

En omdreiningsflate oppstår når generatrisen er en plan kurve som dreies om en akse som ligger i kurvens plan.

Differensialgeometrien behandler flaters tangentplan, normal, krumningsegenskaper og spesielle kurvesystemer på en flate, som geodetiske kurver.

Topologien studerer de egenskaper ved flaten som forblir uforandret ved kontinuerlige (topologiske) avbildninger. Det er for eksempel en topologisk egenskap om en flate er ensidig eller tosidig. Vanligvis forutsettes det at en flate har to sider, men Möbiusbånd er et eksempel på en flate som ikke kan sies å ha mer enn én side.

Et viktig topologisk problem er å bestemme om to flater kan overføres i hverandre ved kontinuerlige en-entydige transformasjoner. Dette er for eksempel tilfellet med en kule og en ellipsoide, men ikke med en kule og en torus.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om eller kommentarer til artikkelen?

Kommentaren din vil bli publisert under artikkelen, og fagansvarlig eller redaktør vil svare når de har mulighet.

Du må være logget inn for å kommentere.