flate - matematikk

Flate. Figur 2. En kjegleflate kan foldes ut til et sirkelsegment.

flate av /Store norske leksikon ※. Gjengitt med tillatelse

Flate. Figur 1. Ellipsoide med halvakser a, b og c.

flate av /Store norske leksikon ※. Gjengitt med tillatelse

En flate i geometrien kan litt forenklet beskrives som overflaten til et legeme, eller som en oppdeling av rommet i to deler. Det er vanskelig å gi en klar matematisk definisjon som nøyaktig inkluderer de punktmengdene som naturlig regnes som flater.

Definisjon med ligninger

Flater kan defineres på forskjellig vis, ofte med noe forskjellig betydning etter de forskjellige anvendelsesområdene. I analytisk geometri og differensialgeometri defineres koordinatene til en flate ved ligninger

x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v),

Her er x, y, z funksjoner av to parametre u og v, og i alminnelighet antas de å ha (partielle) deriverte av første og annen orden. Flatens ligning kan bringes på formen z = f(x, y) eller implisitt F(x, y, z) = 0.

Dersom z er en algebraisk funksjon av x og y (det vil si at F er et polynom), er flaten algebraisk; ellers er den transcendent.

Ligningen z = ax + by + c fremstiller et plan, mens \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) fremstiller en ellipsoide (se figur 1) med halvaksene a, b, c.

Definisjon ved en kurve

En flate kan også defineres, eller tenkes fremkommet, ved at en kurve beveger seg i rommet. Kurven kalles da en generatrise, og hvis generatrisen er en rett linje, kalles flaten en linjeflate.

Et spesialtilfelle er utfoldelige (engelsk: developable) flater, som kan foldes ut plant uten å strekkes. Et eksempel på dette er en kjegleflate, se figur 2.

En omdreiningsflate oppstår når generatrisen er en plan kurve som dreies om en akse som ligger i kurvens plan.

Egenskaper ved flater

Differensialgeometrien behandler flaters tangentplan, normal, krumningsegenskaper og spesielle kurvesystemer på en flate, som geodetiske kurver.

Topologien studerer de egenskaper ved flaten som forblir uforandret ved kontinuerlige (topologiske) avbildninger. Det er for eksempel en topologisk egenskap om en flate er ensidig eller tosidig. Vanligvis forutsettes det at en flate har to sider, men Möbiusbånd er et eksempel på en flate som ikke kan sies å ha mer enn én side.

Et viktig topologisk problem er å bestemme om to flater kan overføres i hverandre ved kontinuerlige en-entydige transformasjoner. Dette er for eksempel tilfellet med en kule og en ellipsoide, men ikke med en kule og en torus.

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg