Algebra, gren av matematikken, kan i sin enkleste (og eldste) forståelse defineres som læren om ligninger og regning med tall og variable, men oppfattes i dag mer generelt som studiet av algebraiske systemer (se nedenfor) og avbildninger mellom slike. Omfatter grener som gruppeteori, transformasjons- og invariant-teori, ideal- og ringteori, kroppteori og eliminasjon, med anvendelser på algebraisk geometri, tallteori og algebraiske funksjoner.

Eksempler på algebraiske systemer er gruppe, ring, kropp og vektorrom (lineær algebra). Slike systemer finnes i alle områdene av matematikken, og består av en mengde hvor det er definert én eller flere operasjoner (komposisjonsregler) som oppfyller visse betingelser (assosiativitet, kommutativitet, distributivitet osv.).

Det at elementene i gitte abstrakte algebraiske systemer ikke er spesifisert nærmere, men i ulike forbindelser kan tolkes som tall, transformasjoner, polynomer, funksjoner osv., gjør at algebraen får et vidt anvendelsesområde. Siden begynnelsen av 1900-tallet har algebraen hatt særlig stor betydning for geometriens utvikling (algebraisk geometri og algebraisk topologi), men har også spilt en rolle innenfor diverse områder av anvendt matematikk som f.eks. gjennom gruppeteoriens anvendelse i moderne fysikk. Teorien for boolske algebraer har avgjørende betydning for konstruksjonen av datamaskiner. I sosiale vitenskaper, psykologi og økonomi finner man bruk for matriser og lineær algebra gjennom det som kalles lineær- eller matematisk programmering.

Begrepet algebra ble opprinnelig brukt identisk med ligningsteori, og helt til begynnelsen av 1800-tallet faller historien for de to grenene av matematikken sammen. Ordet stammer fra tittelen på den arabiske matematikeren Mohamed Ibn Musa Al-Khwarizmîs lærebok Algebr wal muqabala (kan oversettes med «gjenopprettelse og forenkling») som betegner to forenklingsmåter for ligninger.

Nyere undersøkelser viser at allerede babylonerne (2000–1500 f.Kr.) hadde et høyt utviklet algebraisk system, mens Ahmes regnebok (1700 f.Kr.) gir eksempler på egyptisk algebra. Den greske matematiske skole var mer rettet mot geometri, men den senere aleksandrinske periode har fremragende algebraikere som Diofantos (ca. 270 e.Kr.). Noe senere oppstår den indiske algebraiske skole (Brahmagupta, Bhaskara). Gjennom araberne ble den indiske og greske algebraen smeltet sammen (Al-Khwarizmî), ca. 820 e.Kr. og overført til Vest-Europa, særlig til Italia. Her gjøres de første store fremskrittene siden den antikke algebra ved S. del Ferro  og N. Tartaglias løsning av tredjegradsligningen og L. Ferraris løsning av fjerdegradsligningen, begge offentliggjort først i G. Cardanos Ars Magna (1545). Disse resultatene var oppnådd uten formler, men så kompliserte problemer fremtvang snart en forenkling gjennom et systematisk tegnspråk.

Allerede tidlig finner man tilløp til formalisering. F.eks. betegner Ahmes regnebok den ukjente med hau (mengde). I Italia brukte man uttrykket cosa (tingen), hvorav den tidlige engelske og tyske betegnelsen cossregning for algebra er avledet. Den franske matematikeren François Viète innførte først bokstaver for de forekommende størrelser (1591), herfra stammer den populære betegnelsen bokstavregning for algebra. Bruken av de første bokstavene i alfabetet a, b, c for å betegne kjente størrelser og de siste bokstavene x, y, z for ukjente skyldes René Descartes.

Den videre formalisering foregikk deretter raskt, f.eks. ble de vanlige potens- og rotbetegnelsene innført av Albert Girard, Descartes og Isaac Newton. Ved de grunnleggende arbeidene av Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel og Évariste Galois i første halvdel av 1800-tallet ble noen av ligningsteoriens hovedproblemer brakt til en viss avslutning, og fra denne tid av danner algebra en egen lærebygning, som ligningsteorien bare er en del av.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål til artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.