Homologi er i topologien en måte å beregne hvor mange hull en geometrisk figur har. For eksempel har et flatt ark ingen homologi, men dersom vi limer sammen to sider av arket, så har sylinderen vi får nøyaktig ett hull, og dermed også ikke-null homologi.

Faktaboks

Uttale
homologˈi

Fagfeltet algebraisk topologi handler i hovedsak om å finne måter å omgjøre kvalitative trekk ved geometriske former til beregnbare kvantitative egenskaper. For å gjøre dette har topologer og matematikere generelt utviklet mange matematiske verktøy som lar en gjøre dette. En av de mest grunnleggende og viktige av disse er homologi, som altså er en måte å beskrive hvor mange hull en geometrisk form har.

Hull i ulike dimensjoner

Kule med radius r
.
Torus

Torus. Hvis radien i sirkelen er r og avstanden fra sirkelens sentrum til aksen er R, så er torusens overflateareal 4π2Rr og volumet er 2π2Rr2.

Av /Store norske leksikon ※.

En av de interessante delene ved homologi er at den kan måle hull i alle mulige dimensjoner. For eksempel kan vi tenke oss at et kuleskall har ingen 1-dimensjonale hull, men den har et 2-dimensjonalt et på innsiden av seg selv.

Dimensjonen til hullene her kan virke lite intuitivt ettersom rommet på innsiden av en kule er tredimensjonalt og ikke todimensjonalt. Men matematisk sett er det riktigere å si at hullet er todimensjonalt ettersom kuleskallet selv er en todimensjonal overflate. For eksempel er overflaten til jorda todimensjonal fordi vi kun kan bevege oss i to ulike retninger: opp eller ned, høyre eller venstre.

En torus, eller smultringfigur, er mer komplisert. Den har to forskjellige endimensjonale hull, og ett todimensjonalt hull på innsiden av seg selv. For å forstå de to endimensjonale hullene kan man forestille seg følgende: Man starter med ett vanlig ark uten hull. Limer man sammen to av sidene får man en sylinder, som har nøyaktig ett endimensjonalt hull. Limer man sammen de to kantene til sylinderen får man en torus, og vi får da enda ett endimensjonalt hull i midten.

Betti-tall

Disse intuitive og kvalitative argumentene kan gjøres presise ved å beregne homologitallene til kulen \(S\) og torusen \(T\). Homologitallene kalles ofte Betti-tall, da de først ble definert og brukt av den italienske matematikeren Enrico Betti. Han definerte disse annerledes enn slik vi gjør i dag, og tok inspirasjon fra noen tall Bernhard Rieman tidligere hadde brukt for å studere hvor sammenhengende et rom er.

Betti-tallene ble videre formalisert av Henri Poincaré i hans kjente artikkel Analysis situs. Han introduserte en helt ny struktur som gjorde at man kunne enklere beregne Betti-tallene. Senere viste Emmy Noether at denne strukturen definert av Poincaré faktisk dannet en abelsk gruppe, et matematisk struktur som lar oss legge sammen og trekke fra elementer i denne strukturen.

Når topologer beregner homologi er det som regel disse homologi-gruppene de beregner. Det finnes mange måter å beregne disse på, alle med sine fordeler og ulemper, avhengig av konteksten.

Formelt kan man da definere det \(n\)-te Betti-tallet \(B_n(X)\) til et topologisk rom \(X\), til å være tallet gitt ved følgende formel:

\[B_n (X)=\text{dim}H_n(X; \mathbb{Q})\]

La oss forklare litt hva de ulike delene i formelen er. Symbolet \(H_n\) betyr \(n\)-te homologi, alstå den matematisk presise konstruksjonen som forteller oss intuitivt hvor mange \(n\)-dimensjonale hull det topologiske rommet \(X\) har. Tillegssymbolet \(\mathbb{Q}\) betyr at vi målet hullet med rasjonale tall. Det viser seg da at objektet \(H_n(X;\mathbb{Q}\) er et rasjonalt vektorrom kalt den \(n\)-te homologigruppen til \(X\).

Et vektorrom har en dimensjon, som er definert ved hvor mange uavhengige variable man må bruke for å spesifisere et punkt i vektorrommet. For eksempel er dimensjonen til det vanlige Euklidske tredimensjonale rommet \(\mathbb{R}^3\) lik tre, da vi må spesifisere tre koordinater: høyde, lengde og bredde. Planet \(\mathbb{R}^2\) har dimensjon lik to, da vi kun trenger å spesifisere to koordinater. Med symbolet \(\text{dim}V\) mener vi da dimensjonen til vektorrommet \(V\). Dermed er for eksempel \(\text{dim}\mathbb{R}^3 = 3\).

Den fulstendige formelen for det \(n\)-te Betti-tallet betyr da at \(B_n(X)\) er dimensjonen til vektorrommet \(H_n(X;\mathbb{Q})\).

Eksempler

Kutting av en torus
Her kuttes torusen to ganger, som viser at det første Betti-tallet til torusen \(T\) er lik to.
Av .
Lisens: CC BY 4.0

Med denne presise definisjonen kan man i teorien beregne Betti-tallene til \(S\) og \(T\), som gjenspeiler intuisjonen vår ovenfor. Vi har \(B_1(S)=0\) og \(B_2(S)=2\), altså har et kuleskall ingen endimensjonale hull, men har nøyaktig ett todimensjonalt hull. Vi har også \(B_1(T)=2\) og \(B_2(T)=1\), som bekrefter intuisjonen om at torusen har to forskjellige endimensjonale hull, men kun ett todimensjonalt hull.

I praksis kan det svært komplisert å beregne disse tallene. For beregningen av \(B_1\) kan man bruke en litt mer lavterskel beskrivelse. Det første Betti-tallet kan også beskrives som det maksimale antall fullstendige kutt man kan gjøre på rommet \(X\) før det deler seg i to ulike deler. For kuleskallet \(S\) vil alle fullstendige kutt føre til at vi får to ulike deler, dermed er \(B_1(S)=0\). For torusen \(T\) kan vi kutte over ringen, noe som gjør at vi sitter igjen med en sylinder. Vi kan igjen kutte sylinderen langs den ene siden, noe som gir oss et firkantet ark. Alle videre kutt vil gjøre at arket deler seg i to deler. Dermed har vi gjort to kutt, som betyr at \(B_1(T)=2\).

Dimensjonen til et rom

For de fleste topologiske rom, for eksempel en mangfoldighet \(M\), vil \(B_n(X)=0\) for alle \(n\) større enn dimensjonen til \(M\). Altså har for eksempel ikke kuleskallet \(S\) noen tredimensjonale eller firedimensjonale hull.

Vi kan derfor bruke Betti-tallene til å måle dimensjonen til en tilfeldig valgt mangfoldighet \(M\). Dimensjonen er dermed gitt som det største tallet \(n\) slik at det \(n\)-te Betti-tallet til \(M\) ikke er lik \(0\). Dette kan uttrykkes slik:

\[ \dim(M)=\max\{n\mid B_n(M)\neq 0\}\]

Dette betyr for eksempel at både kulen \(S\) og torusen \(T\) er todimensjonale, noe som kanskje virker rart da de tross alt eksisterer i tre dimensjoner. Men overflaten av disse er todimensjonale, så det er det som menes med dimensjon her.

Konseptet for dimensjon for mangfoldigheter er litt annerledes enn konseptet for dimensjon av et vektorrom vi så tidligere. Selv om dimensjonen til det Euklidske tredimensjonale rommet \(\mathbb{R}^3\) er lik tre, når vi tenker på det som et vektorrom, så er dimensjonen lik null når vi tenker på det som en mangfoldighet (alle Betti-tallene er lik null). Dette er fordi det tredimensjonale rommet er topologisk ekvivalent til et punkt, som er null-dimensjonalt.

Homologigrupper

Betti-tallene ble videre formalisert av Henri Poincaré i hans kjente artikkel Analysis situs. Han introduserte en helt ny struktur som gjorde at man kunne enklere beregne Betti-tallene. Senere viste Emmy Noether at denne strukturen definert av Poincaré faktisk dannet en abelsk gruppe, et matematisk struktur som lar oss legge sammen og trekke fra elementer i denne strukturen.

Når topologer beregner homologi er det som regel disse homologi-gruppene de beregner. Det finnes mange måter å beregne disse på, alle med sine fordeler og ulemper, avhengig av konteksten.

Bruksområder

Visualisering av en gittercelles nevrale aktivitet
Funnet av gittercellene har betydning for forståelsen av sykdommer som angriper tinninglappen, kanskje først og fremst Alzheimers sykdom.
Visualisering av en gittercelles nevrale aktivitet
Lisens: CC BY NC 2.0

Det har utviklet seg mange ulike typer homologi. Disse kan brukes til å beregne forskjellige typer hull i ulike situasjoner. Et eksempel er persistent homologi, som brukes i topologisk dataanalyse til å beregne «formen» en datamengde har. Dette ble for eksempel brukt i May-Britt og Edvard Mosers revolusjonerende oppdagelse av at gitterceller i hjernen er strukturert som en torus.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg