koordinatsystem

Koordinatsystem, et system for å angi et punkts beliggenhet i planet eller rommet ved hjelp av tallstørrelser (koordinater). Vanligst brukt er rettvinklede (kartesiske, parallelle, ortogonale) koordinatsystemer og polarkoordinater.

I et rettvinklet koordinatsystem bestemmes beliggenheten av et punkt i planet ved dets avstander fra to rette linjer, koordinataksene, som skjærer hverandre i rett vinkel (fig. 1). Skjæringspunktet O mellom aksene kalles origo (begynnelsespunktet). De to aksene deler planet i fire kvadranter. Den ene koordinataksen kalles abscisse-aksen eller x-aksen. Den andre kalles ordinataksen eller y-aksen. På hver akse velges en positiv retning, og en lengdeenhet fastlegges. Gjennom det gitte punktet P trekkes paralleller med x-aksen og y-aksen. Avstanden x₀ fra origo til skjæringspunktet mellom x-aksen og parallellen med y-aksen kalles P's abscisse. Den regnes positiv eller negativ etter som skjæringspunktet ligger på den positive eller negative siden av origo. På tilsvarende måte bestemmes ordinaten y₀ ved skjæringspunktet mellom y-aksen og parallellen med x-aksen gjennom P. Punktet betegnes da ved sine koordinater (x₀, y₀). Et alminnelig rutepapir er et slikt koordinatsystem. Man kan også bruke skjevvinklete (parallelle) koordinatsystemer hvor aksene skjærer hverandre under en vinkel som ikke er rett, og koordinatene bestemmes på tilsvarende måte ved hjelp av paralleller med koordinataksene.

En annen viktig type koordinatsystemer i planet er polarkoordinater (fig. 2). Her bestemmes et punkt P ved dets avstand r fra et fast punkt, polen O, og den vinkelen α som linjen OP danner med en fast retning eller akse gjennom O. Avstanden r kalles radius vektor og vinkelen amplituden. Sammenhengen mellom et punkts kartesiske og polare koordinater er gitt ved x = rcosα og y = rsinα

I homogene koordinatsystemer angis et punkt ved tre koordinater (x₁, x₂, x₃), men bare forholdene x₁:x₃ og x₂:x₃ mellom dem er av betydning. De homogene koordinatene brukes særlig i den projektive og i den algebraiske geometri; de kan oppfattes som punktets avstand fra tre rette linjer som ikke skjærer hverandre i samme punkt. Ved studium av plane kurver er det ofte bekvemt å fremstille kurven som en ligning R = f (s) mellom buelengden s regnet fra et fast punkt på kurven og krumningsradius R. Man kaller s og R kurvens naturlige (eng. intrinsic) koordinater.

I rommet \(\mathbb{R}^3\) brukes i alminnelighet koordinatsystemer som kan betraktes som generaliseringer av koordinatsystemer i planet. Oftest brukes rettvinklede koordinatsystemer, hvor et punkt P bestemmes ved sine tre avstander (x, y, z) fra tre gitte koordinatplan. Disse tre koordinatplanene skjærer hverandre i tre koordinat-akser, x-, y- og z-aksene, som står vinkelrett på hverandre og har et felles skjæringspunkt, origo O (fig. 3). Betegnelsene for koordinatplanene velges slik at f.eks. xy-planet inneholder x-aksen og y-aksen og står vinkelrett på z-aksen. Man kan også innføre skjevvinklede koordinatsystemer på tilsvarende måte som i planet. Homogene koordinater kan også defineres.

Nær beslektet med de rettvinklede koordinatene er sylinder-koordinater (fig. 4). Her bestemmes punktet P ved sin høyde z over xy-planet, lengden σ = OP ʹ av radius vektors (r = OP) projeksjon på xy-planet og vinkelen α som OP ʹ danner med x-aksen.

Polar-koordinater i rommet, også kalt kule-koordinater eller sfæriske koordinater, bruker radius vektor r, vinkelen α og den vinkel β som radius vektor danner med xy-planet til å bestemme P (fig. 5). Disse vinklene svarer til lengde og bredde på en globus.

Koordinatbegrepet kan utvides til flerdimensjonale rom, og omvendt er koordinatsystemet den enkleste måte til å definere rom i høyere dimensjoner. Man kan også generalisere koordinatbegrepet til å bestemme andre geometriske størrelser enn punkter.

Innføringen av koordinatsystemer skyldes R. Descartes. Det finnes imidlertid tilløp til koordinatgeometri hos tidligere forfattere, og P. Fermat viser tydelig i et brev til G. P. Roberval (1629) at han behersker metoden til og med i en form som svarer nærmere til den som blir brukt nå. Gjennom analytisk geometri skapes et bindeledd mellom geometri og algebra som er av fundamental betydning for utviklingen av infinitesimalregningen og den moderne matematikk i det hele tatt.