kjeglesnitt

Kjeglesnitt, fellesnavn på snittkurvene man får når et plan skjærer en rett eller skjev sirkulær kjegleflate. De forskjellige kjeglesnittene fremkommer ved ulike vinkler mellom planet og kjegleflaten (jfr. figur 1):

1. Når snittplanet danner en større vinkel med aksen enn generatrisen gjør, vil planet skjære bare den ene halvdelen av kjegleflaten, og snittkurven er en ellipse. Et spesialtilfelle fremkommer når planet er vinkelrett på aksen; kjeglesnittet er da en sirkel.

2. Når snittplanet danner samme vinkel med aksen som generatrisen, skjæres kjegleflaten fremdeles bare i sin ene del, men snittkurven er ikke lukket og kalles en parabel.

3. Når snittplanet danner en mindre vinkel med aksen enn generatrisen, vil planet skjære begge halvdeler av kjegleflaten, og snittkurven har to grener som til sammen danner en hyperbel.

Dersom snittplanet legges gjennom kjegleflatens toppunkt, får man de såkalte degenererte eller utartede kjeglesnitt. I tilfelle 1 svinner snittet inn til et punkt, en degenerert ellipse; i tilfelle 2 vil planet berøre kjegleflaten langs en rett linje, en degenerert parabel, og i tilfelle 3 er snittet to rette linjer som skjærer hverandre i kjeglens toppunkt, og de oppfattes som en degenerert hyperbel.

Kjeglesnitt kan også defineres på en annen (analytisk) måte: Et kjeglesnitt er det geometriske sted for de punkter P som ligger slik i planet at forholdet \(\frac{PB}{PL}=e\) der e er konstant. Her er PB avstanden fra P til et punkt B, brennpunktet, og PL er avstanden fra P til en rett linje L, styrelinjen (direktrisen). Forholdet e kalles kjeglesnittets eksentrisitet. Man har e = 1 for en parabel, e> 1 for en hyperbel og e < 1 for en ellipse. For en sirkel er e = 0. Jfr. figur 2.

Kjeglesnittene har mange interessante egenskaper. Både ellipsen og hyperbelen har to brennpunkter og en symmetriakse som går gjennom brennpunktene, dessuten en symmetriakse som står vinkelrett på den første og går gjennom kjeglesnittets sentrum. Parabelen har bare ett brennpunkt og bare én symmetriakse. Den går gjennom brennpunktet.

Innenfor den analytiske geometrien defineres kjeglesnitt ved en ligning av annen grad F(x·y) = 0 mellom koordinatene x og y. Kjeglesnittene er altså annengradskurver. Hvis origo og koordinataksene velges på passende måte, kan kjeglesnittets ligning forenkles betydelig. For ellipsen og hyperbelen benyttes i alminnelighet sentrumsligningen \(\frac{x^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1\). Her faller koordinataksene sammen med kjeglesnittets akser (se ellipse og hyperbel). En felles form for ligningen for alle kjeglesnitt er toppunktsligningen y² = 2px – (1 – e²)x² hvor origo er lagt i kjeglesnittets venstre toppunkt, slik at x-aksen faller sammen med kjeglesnittets akse. Her er e fortsatt eksentrisiteten, og 2p kalles kjeglesnittets parameter.

Allerede i gresk matematikk ble læren om kjeglesnittet utviklet til stor fullkommenhet. Blant de første greske matematikere som beskjeftiget seg med kjeglesnitt, kan vi nevne Menaikhmos (ca. 350 f.Kr.), som benyttet kjeglesnitt i forbindelse med det deliske problem (se kubens fordobling). De 8 bøkene Apollonios fra Perga skrev om kjeglesnitt er den greske matematikkens viktigste bidrag til kjeglesnittlæren. Arkhimedes beskjeftiget seg særlig med arealberegninger ved kjeglesnitt.

Innføringen av den analytiske geometri og infinitesimalregningen brakte løsningen av alle de viktigste differensialgeometriske problemene for kjeglesnitt. En annen retning i undersøkelsene over kjeglesnitt ble skapt gjennom J. V. Poncelets utvikling av den projektive geometri. I denne matematiske disiplinen beskjeftiger man seg blant annet med skjærings- og berøringsegenskaper; typiske resultater av denne sort er Pascals sats om innskrevne sekskanter i et kjeglesnitt, og C. J. Brianchons duale sats om omskrevne sekskanter (se dualitet). Alle kjeglesnittene kan behandles fra et felles synspunkt i den projektive geometrien, siden man kan vise at ethvert (ikke utartet) kjeglesnitt kan transformeres projektivt til ethvert annet kjeglesnitt. Man kan også nevne definisjonen av kjeglesnitt som skjæringspunktene for tilsvarende linjer i to projektive linjebunter.