kjeglesnitt

Kjeglesnitt er innen geometri et fellesnavn på kurvene ellipse, parabel og hyperbel. De kalles kjeglesnitt fordi alle kurvene kan oppstå når et plan skjærer en rett eller skjev sirkulær kjegleflate. De forskjellige kjeglesnittene fremkommer ved ulike vinkler mellom planet og kjegleflaten, som vist i figur 1):

1. Når planet danner en større vinkel med aksen til kjeglen enn generatrisen gjør, vil planet skjære bare den ene halvdelen av kjegleflaten, og da er snittkurven en ellipse. Hvis planet er vinkelrett på aksen, blir kjeglesnittet en sirkel, som er et spesialtilfelle av ellipsen.

2. Når planet danner samme vinkel med aksen som generatrisen gjør, skjærer planet kjegleflaten fremdeles bare i den ene delen, men snittkurven er ikke lukket . Da oppstår en parabel.

3. Når planet danner en mindre vinkel med aksen enn generatrisen gjør, vil planet skjære begge halvdeler av kjegleflaten. Da har snittkurven to grener som til sammen danner en hyperbel.

Dersom snittplanet legges gjennom toppunktet til kjegleflaten, får man såkalte degenererte eller utartede kjeglesnitt. I tilfelle 1 svinner snittet inn til et punkt, en degenerert ellipse; i tilfelle 2 vil planet berøre kjegleflaten langs en rett linje, en degenerert parabel, og i tilfelle 3 er snittet to rette linjer som skjærer hverandre i kjeglens toppunkt, og de oppfattes som en degenerert hyperbel.

Kjeglesnitt kan også defineres på en annen (analytisk) måte: Et kjeglesnitt er det geometriske sted for alle punkter P som ligger slik i planet at forholdet \(\frac{PB}{PL}=e\) der e er konstant. Her er PB avstanden fra P til et punkt B, brennpunktet, og PL er avstanden fra P til en rett linje L, styrelinjen (direktrisen). Forholdet e kalles kjeglesnittets eksentrisitet. Man har e = 1 for en parabel, e> 1 for en hyperbel og e < 1 for en ellipse. For en sirkel er e = 0. Se figur 2.

Kjeglesnittene har mange interessante egenskaper. Både ellipsen og hyperbelen har to brennpunkter og en symmetriakse som går gjennom brennpunktene, dessuten en symmetriakse som står vinkelrett på den første og går gjennom kjeglesnittets sentrum. Parabelen har bare ett brennpunkt og bare én symmetriakse. Symmetriaksen går gjennom brennpunktet.

Innenfor analytisk geometri defineres kjeglesnitt ved en ligning av andre grad F(x·y) = 0 mellom koordinatene x og y. Kjeglesnittene er altså andregradskurver. Hvis origo og koordinataksene velges på passende måte, kan ligningen til kjeglesnittet forenkles betydelig. For ellipsen og hyperbelen benyttes i alminnelighet sentrumsligningen \(\frac{x^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1\). Her faller koordinataksene sammen med kjeglesnittets akser (se ellipse og hyperbel).

En felles form for ligningen for alle kjeglesnitt er toppunktsligningen

y² = 2px – (1 – e²)x²

Her er origo lagt i kjeglesnittets venstre toppunkt, slik at x-aksen faller sammen med kjeglesnittets akse. Her er e fortsatt eksentrisiteten, og 2p kalles kjeglesnittets parameter.