projektiv geometri

Projektiv geometri er en gren av geometrien hvor man studerer egenskaper ved geometriske figurer som ikke forandres ved sentralprojeksjon, det vil si ved lineære transformasjoner. En rett linje svarer for eksempel til en rett linje, og skjæringspunktet mellom to linjer svarer til skjæringspunktet mellom billedlinjene. Dobbeltforholdet mellom fire punkter på en linje er også uforandret ved en slik projeksjon.

Faktaboks

Uttale
prˈojektiv geometrˈi

Enhver rett linje har i projektiv geometri et uendelig punkt, og to parallelle linjer sies å ha samme uendelige punkt. Alle disse uendelige punktene sies å ligge på samme linje, kalt den uendelige linjen. Det vanlige planet, sammen med denne uendelige linjen, danner det projektive plan. Tilsvarende har man projektive rom av høyere dimensjon.

Betydning

Denne oppfatningen gir en systematisk fordel ved formulering og bevis av geometriske satser. Et kjeglesnitt kan alltid transformeres til en sirkel, og dette forenkler beviset for en rekke satser om kjeglesnitt. Det gjelder blant annet for Blaise Pascals og Charles Julien Brianchons satser om innskrevne og omskrevne sekskanter (se dualitet). En sirkel oppfattes projektivt som et kjeglesnitt som går gjennom to bestemte imaginære punkter, sirkelpunktene, på den uendelige linje.

En viktig del av projektiv geometri er det såkalte dualitetsprinsippet, som gjør det mulig å avlede nye satser ved å bytte om på begrepene rett linje og punkt. Jean Victor Poncelet regnes som den projektive geometriens grunnlegger. Teorien for projektive rom er en av ingrediensene i algebraisk geometri.

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg