Kurve, populært en krum linje eller bane, sett i motsetning til en rett linje.

I matematikken er en kurve en grafisk fremstilling av en ligning, og begrepet omfatter også rette linjer. De greske matematikere studerte tidlig forskjellige kurver, særlig kjeglesnitt. Disse kurvene ble enten oppfattet som det geometriske sted for punkter med visse egenskaper, som snitt av flater, eller som banen for et punkt som beveger seg. Ved innføringen av den analytiske geometri og koordinatsystemer ble studiet av kurver og kurvenes egenskaper nært knyttet til funksjonsteorien (se funksjon).

Enhver kurve i planet er definert ved sin ligning y = f(x); og ligningen angir sammenhengen mellom koordinatene x og y for punkter som ligger på kurven. De to hovedklassene av kurver er de transcendente og de algebraiske kurver, som kan beskrives av henholdsvis transcendente og algebraiske funksjoner. Særlig for algebraiske kurver finnes det en høyt utviklet teori.

Ofte gis en kurves ligning på implisitt form, som en ligning F(x, y) = 0, så man må finne den eller de verdier av y som svarer til en bestemt verdi av x. y kan også være gitt eksplisitt ved y = f(x). Man kan også gi kurvens ligning i parameterform x= α(t), y= β(t), hvor α(t) og β(t) er funksjoner av en parameter t, slik at de forskjellige verdier av t gir punktene (x, y) på kurven.

Eksempler: Ligningen for en sirkel, på implisitt form, er x2 + y2 = r2, og av denne kan man bestemme y eksplisitt ved \(y=\pm\sqrt{r^2-x^2}\)

En parameterfremstilling av en ellipse er x= a · sint, y= b · cost.

En kurve i rommet kan være definert ved to ligninger y = f(x), z= g(x), og oppfattes som skjæringskurven mellom de to flatene som bestemmes av disse ligningene. Kurver i rommet betegnes som algebraiske hvis f og g er algebraiske funksjoner, ellers er de transcendente. For romkurver brukes også ofte en parameterfremstilling: x= α(t), y= β(t), z= γ(t). Kurver i høyere dimensjonale rom kan defineres på tilsvarende måter. Et eksempel på en kurve i rommet er heliksen.

Som bemerket kan en kurve defineres ved sin ligning y = f(x). For at de tilsvarende punktene (x, y) i planet skal ha slike egenskaper som man i alminnelighet tillegger en kurve, er det imidlertid nødvendig å gjøre visse forutsetninger om funksjonen f. Man forlanger som regel først at kurven skal være sammenhengende, og dette svarer til at funksjonen f er kontinuerlig. Denne betingelsen er imidlertid ikke tilstrekkelig for at kurven skal ha en tangent. K. T. W. Weierstrass gav et eksempel på en kontinuerlig funksjon som ikke har noen derivert i noe punkt. Like overraskende var G. Peanos eksempel som viser at punktene bestemt ved ligningene x = α(t), y= β(t), der α(t) og β(t) er kontinuerlige funksjoner, kan svare til alle punkter i et kvadrat.

Disse og andre eiendommelige resultater har gjort det nødvendig å studere nærmere hvilke betingelser man skulle like å stille for at en punktmengde skal kunne kalles en kurve. Det viser seg at det finnes mange, naturlige egenskaper, og etter som man tilfredsstiller de forskjellige betingelser, får man forskjellige kurvebegreper. Et av de viktigste kurvebegreper skyldes C. Jordan: En (lukket) jordankurve er en punktmengde som kan avbildes entydig og kontinuerlig på en sirkel, og den har den egenskap at den deler planet i to atskilte deler, slik at man ikke kan gå fra én del til en annen uten å krysse kurven. I de vanligste undersøkelser over kurver, f.eks. i differensialgeometrien eller den anvendte matematikk, gjør man betydelig sterkere forutsetninger om kurvens og den tilsvarende funksjons egenskaper. Som regel forutsettes at de høyere deriverte av f eksisterer så langt som de er nødvendige for regningene, og ofte antas f å være en analytisk funksjon. Se også krumning, normal og tangent.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål til artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.