vektorregning

Artikkelstart

Vektorregning er den delen av matematikken som omhandler regning med vektorer. Vektorregning er egentlig et synonym for lineær algebra, men oppfattes ofte som den mer konkrete delen av denne. Vektorer har mange forskjellige anvendelser, spesielt innen fysikk og teknikk.

Faktaboks

Uttale
vˈektorregning

Operasjoner i vektorregning

Vektorregningen har fire grunnleggende operasjoner: addisjon av to vektorer, multiplikasjon av en skalar (et tall) med en vektor, indreprodukt (eller skalarprodukt) av to vektorer, og vektorprodukt (kryssprodukt) av to vektorer (jfr. matriseregning). De to førstnevnte operasjonene er definert i artikkelen om lineær algebra.

Indreprodukt

Indreproduktet \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) av to vektorer \(\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]\) og \(\vec{b}=[b_1,b_2,b_3]\) er definert som skalaren (tallet) \(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\). Det kan også defineres som tallet \(|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\alpha\), hvor \(|\vec{a}|\) og \(|\vec{b}|\) er lengdene av \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\), og \(\alpha\) er vinkelen mellom dem.

Vektorprodukt

Vektorproduktet av to vektorer kalles også kryssproduktet. Det skrives \(\vec{a}\times\vec{b}\) og er definert som en vektor som er vinkelrett på både \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) slik at vektorene \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) og \(\vec{a}\times\vec{b}\) danner et høyresystem (se høyrehåndsregelen). Vektorproduktet \(\vec{a}\times\vec{b}\) av to vektorer \(\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]\) og \(\vec{b}=[b_1,b_2,b_3]\) er definert som vektoren\[ [a_1,a_2,a_3]\times[b_1,b_2,b_3]=[a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1].\]Lengden av \(\vec{a}\times\vec{b}\) er lik arealet av det parallellogrammet som de to vektorene spenner ut.

Disse fire operasjonene oppfyller en rekke regneregler. For eksempel oppfyller vektorproduktet den distributive lov med hensyn på vektoraddisjon: \(\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}\). Vektorproduktet oppfyller imidlertid ikke den kommutative lov, ettersom \(\vec{a}\times\vec{b}=-(\vec{b}\times\vec{a})\).

Vektoren med lengde null kalles nullvektoren og skrives \(\vec{0}\).

Vektorregning i utvidet forstand

Til vektorregningen i vid forstand hører også vektoranalysen, som blant annet omfatter differensialregning og integralregning for vektorer og vektorfunksjoner. Spesielt er et vektorfelt et system av vektorer, slik at hvert punkt i rommet er tilordnet en bestemt vektor \(\vec{a}=[a_x,a_y,a_z]\), hvor komponentene \(a_x\), \(a_y\) og \(a_z\) alle er funksjoner av \(x\), \(y\) og \(z\). Noen eksempler fra fysikken er elektriske og magnetiske felter, hvor vektoren i et gitt punkt gir kraftens størrelse og retning i punktet. Skalaren \(\mathrm{div} \vec{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}\) kalles vektorfeltets divergens og måler kraftlinjenes tetthet i kraftfeltet. Rotasjonen (eller virvelen) i feltet måles ved vektoren \(\mathrm{curl}\vec{a} \). Feltet sies å være rotasjonsfritt eller virvelfritt dersom vi overalt har \(\mathrm{curl}\vec{a}=\vec{0}\).

Et skalarfelt kan oppfattes som et spesialtilfelle av et vektorfelt, men også rett og slett som en funksjon som til hvert punkt i et visst område i rommet tilordner et reelt tall, det vil si som en vanlig reell funksjon av tre reelle variable. Variasjonen av trykk eller temperatur i en væske gir eksempler på skalarfelter. Fra et skalarfelt \(f(x,y,z)\) kan man avlede et vektorfelt grad \(f\) gitt ved \(\mathrm{grad} f=\left[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right]\). Dette vektorfeltet kalles gradienten til \(f\) og angir i hvilken retning potensialfunksjonen \(f\) vokser mest.

Tensorregningen kan betraktes som en utvidelse av vektorregningen og spiller blant annet en viktig rolle i den generelle relativitetsteorien.

Noen viktige forløpere for den moderne vektorregning er William R. Hamiltons kvaternioner og H. G. Grassmanns Ausdehnungslehre, som ble etterfulgt av primærarbeider av J. W. Gibbs (1839–1903) og O. Heaviside (1850–1925).

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer (2)

skrev morten eilertsen

Bildene / figuren til artikkelen er plassert ut av kontekst. Blir vanskelig å følge når illustrasjonene ikke er der de burde være.

svarte Erik Dyrhaug

Hei Morten, takk for innspill! Vi skal etterhvert få støtte for LaTeX i artikkelteksten. Når det har kommet på plass skal vi ta en gjennomgang av alle artiklene som inneholder matematisk notasjon og oppdatere dem!Vennlig hilsen, Erik i redaksjonen.

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg