Vektorregning, den del av matematikken som omhandler regning med vektorer; har mange forskjellige anvendelser, spesielt innen fysikk og teknikk. Vektorregning er egentlig et synonym for lineær algebra, men oppfattes ofte som den mer konkrete del av denne.

Vektorregningen har fire grunnleggende operasjoner: addisjon av to vektorer, multiplikasjon av en skalar (et tall) med en vektor, indreprodukt (eller skalarprodukt) av to vektorer, og vektorprodukt (kryssprodukt) av to vektorer (jfr. matriseregning). For definisjoner av de to førstnevnte operasjonene, se lineær algebra.

Det indreproduktet \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) av to vektorer \(\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]\) og \(\vec{b}=[b_1,b_2,b_3]\) er definert som skalaren (tallet) \(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\). Det kan også defineres som tallet \(|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\alpha\), hvor \(|\vec{a}|\) og \(|\vec{b}|\) er lengdene av \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\), og \(\alpha\) er vinkelen mellom dem.

Vektorproduktet (kryssproduktet) \(\vec{a}\times\vec{b}\) er en vektor vinkelrett på både \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) slik at vektorene \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) og \(\vec{a}\times\vec{b}\) danner et høyresystem (se høyrehåndsregelen). Vektorproduktet \(\vec{a}\times\vec{b}\) av to vektorer \(\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]\) og \(\vec{b}=[b_1,b_2,b_3]\) er definert som vektoren\[ [a_1,a_2,a_3]\times[b_1,b_2,b_3]=[a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1].\]Lengden av  \(\vec{a}\times\vec{b}\) er lik arealet av det parallellogrammet som de to vektorene spenner ut.

Disse fire operasjonene oppfyller en rekke regneregler, f.eks. oppfyller vektorproduktet den distributive lov med hensyn på vektoraddisjon: \(\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}\). Vektorproduktet oppfyller imidlertid ikke den kommutative lov, idet vi har \(\vec{a}\times\vec{b}=-(\vec{b}\times\vec{a})\).

Vektoren med lengde null, nullvektoren, skrives \(\vec{0}\).

Til vektorregningen i vid forstand hører også vektoranalysen, som bl.a. omfatter differensial- og integralregning for vektorer og vektorfunksjoner. Spesielt er et vektorfelt et system av vektorer, slik at hvert punkt i rommet er tilordnet en bestemt vektor \(\vec{a}=[a_x,a_y,a_z]\), hvor komponentene \(a_x\), \(a_y\) og \(a_z\) alle er funksjoner av \(x\), \(y\) og \(z\). Eksempler fra fysikken er elektriske og magnetiske felter, hvor vektoren i et gitt punkt gir kraftens størrelse og retning i punktet. Skalaren \(\mathrm{div} \vec{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}\) kalles vektorfeltets divergens og måler kraftlinjenes tetthet i kraftfeltet. Rotasjonen (eller virvelen) i feltet måles ved vektoren \(\mathrm{curl}\vec{a} \). Feltet sies å være rotasjonsfritt eller virvelfritt dersom vi overalt har \(\mathrm{curl}\vec{a}=\vec{0}\). Et skalarfelt kan oppfattes som et spesialtilfelle av et vektorfelt, men også rett og slett som en funksjon som til hvert punkt i et visst område i rommet tilordner et reelt tall, dvs. som en vanlig reell funksjon av tre reelle variable. Variasjonen av trykk eller temperatur i en væske gir eksempler på skalarfelter. Fra et skalarfelt \(f(x,y,z)\) kan man avlede et vektorfelt grad \(f\) gitt ved \(\mathrm{grad} f=\left[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right]\). Dette vektorfeltet kalles gradienten til \(f\) og angir i hvilken retning potensialfunksjonen \(f\) vokser mest.

Tensorregningen kan betraktes som en utvidelse av vektorregningen og spiller bl.a. en betydelig rolle i den generelle relativitetsteori.

Viktige forløpere for den moderne vektorregning er W. R. Hamiltons kvaternioner og H. G. Grassmanns Ausdehnungslehre, etterfulgt av primærarbeider av J. W. Gibbs (1839–1903) og O. Heaviside (1850–1925).

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

29. januar 2013 skrev morten eilertsen

Bildene / figuren til artikkelen er plassert ut av kontekst. Blir vanskelig å følge når illustrasjonene ikke er der de burde være.

16. april 2013 svarte Erik Dyrhaug

Hei Morten, takk for innspill! Vi skal etterhvert få støtte for LaTeX i artikkelteksten. Når det har kommet på plass skal vi ta en gjennomgang av alle artiklene som inneholder matematisk notasjon og oppdatere dem!

Vennlig hilsen, Erik i redaksjonen.

Har du spørsmål om artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.