Matematiske uttrykk eller tall forbundet med likhetstegn. En ligning har derfor en høyre og en venstre side. Eksempler:\(\frac 63 = 2\), \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), \(5x^2+ 7y^2 = 1\). Det vanlige likhetstegnet (=) skyldes engelskmannen R. Recorde (1510–58). En ligning hvor den ene side bare er en omforming av den andre, kalles en identitet. Vil man markere at en ligning er en identitet, kan man bruke tegnet ≡ i stedet for likhetstegn. De to første eksemplene ovenfor er identiteter.

Som oftest er en ligning ikke en identitet, og den inneholder visse variable størrelser som gjerne blir betegnet x, y, z, t osv. Hvis f.eks. ligningen er 2x2 – 32 = 0, er problemet å bestemme ligningens løsninger, dvs. slike verdier av den variable eller ukjente x at uttrykket 2x2 – 32 virkelig er lik 0. Her har vi to løsninger, nemlig x1 = 4 og x2 = –4. Løsningene til en ligning f(x) = 0 med en ukjent kalles gjerne ligningens røtter. Det å bestemme alle slike verdier blir kalt å løse ligningen. Innen ligningsteorien studerer man metoder til å løse en ligning, eller mer generelt, til å løse flere ligninger på en gang (simultane ligninger).

Ligninger deles i to hovedklasser, de algebraiske og de transcendente ligninger. Ved transcendente ligninger opptrer transcendente funksjoner; eksempler på transcendente ligninger er 3x = 7 eller 3sinx + 5cosx = 5. En algebraisk ligning med en ukjent kan alltid føres tilbake til den generelle form xn + a1·xn–1 + ... +an–1·x + an = 0, og den algebraiske ligningsteori dreier seg om løsningen av slike ligninger.

Problemer som fører til ligninger av første grad, treffer man på i ulike sammenhenger i den elementære matematikken. Kileskrifttavler fra ca. 2000 f.Kr. viser at allerede babylonerne kjente en fremgangsmåte til å løse annengradsligninger x2 + ax + b = 0 som svarer til formelen \[x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2-4b}}{2}\]

Senere gresk matematikk gav løsningene ved hjelp av geometriske konstruksjoner.

Den neste naturlige oppgaven er løsningen av tredjegradsligninger, og den ble ikke gjennomført før i begynnelsen av 1500-tallet av den italienske matematiske skole i Bologna. Det må her fremheves at man ønsker å løse ligningen ved rottegn, dvs. ved uttrykk som tilfredsstiller ligningen og som er utledet av koeffisientene i ligningen ved de fire regningsarter og rotutdragninger. Løsningen av tredjegradsligningen ble sannsynligvis gitt først av Scipione del Ferro omkring 1515 og senere uavhengig av Niccolò Tartaglia, men den ble først offentliggjort av Girolamo Cardano i hans verk Ars magna (1545), sammen med løsningen av fjerdegradsligningen, funnet av Cardanos elev Lodovico Ferrari. Det kom til en bitter prioritetsstrid mellom Cardano og Ferrari, som hadde gitt løsningen av tredjegradsligningen til Cardano under taushetsløfte.

I de følgende århundrer, etter som det algebraiske tegnspråk ble utviklet og de komplekse tall ble kjent, fikk man også større oversikt over de algebraiske ligningers egenskaper. Det var tidlig kjent at om man tillot komplekse tall som røtter, så ville enhver ligning av n-te grad ha n røtter. Denne satsen kalles algebraens fundamentalsats og ble først bevist av C. F. Gauss (1799). I en avhandling trykt i Oslo 1824 beviste N. H. Abel at femtegradsligningen og derfor den generelle n-te grads ligning i alminnelighet ikke kan løses ved rottegn. Imidlertid finnes det ligninger av vilkårlig høy grad som kan løses ved rottegn, og det står da igjen spørsmålet om å finne de nødvendige og tilstrekkelige betingelser for eksistensen av en slik løsning for en gitt ligning. Dette problemet ble løst av É. Galois (1811–32) ved hjelp av gruppeteori.

I tallteorien studeres de såkalte ubestemte eller diofantiske ligninger. Som regel har man bare én ligning med flere ukjente, men også i noen tilfeller ligningssystemer med flere ukjente enn ligninger, og man ønsker å finne løsninger som er rasjonale eller hele tall. Fermats sats er et berømt eksempel på en diofantisk ligning. De diofantiske ligninger er oppkalt etter Diofantos av Alexandria, som skrev et større arbeid om spesielle klasser av ubestemte ligninger.

I algebraiske ligninger forekommer de ukjente i uttrykk som er fremkommet ved de fire regningsarter. Andre operasjoner kan også innføres, og man får da andre typer av ligninger, f.eks. differensialligninger, integralligninger, funksjonalligninger og differensligninger.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om eller kommentarer til artikkelen?

Kommentaren din vil bli publisert under artikkelen, og fagansvarlig eller redaktør vil svare når de har mulighet.

Du må være logget inn for å kommentere.