En ligning er matematiske uttrykk, variabler eller tall som er forbundet med likhetstegn. En ligning har derfor en høyre og en venstre side.

Noen eksempler på ligninger:

\(\frac 63 = 2\)

\( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\(5x^2+ 7y^2 = 1\)

Det vanlige likhetstegnet = skyldes engelskmannen Robert Recorde (cirka 1512–1558).

En ligning hvor den ene siden bare er en omforming av den andre, kalles en identitet. Vil man markere at en ligning er en identitet, kan man bruke tegnet ≡ i stedet for likhetstegn. De to første eksemplene ovenfor er identiteter.

Som oftest er en ligning ikke en identitet, og den inneholder visse variable størrelser som gjerne blir kalt x, y, z, t og så videre. Hvis for eksempel ligningen er 2x2 – 32 = 0, er problemet å bestemme ligningens løsninger, det vil si slike verdier av x at uttrykket 2x2 – 32 virkelig er lik 0. I dette tilfellet har vi to løsninger, nemlig x1 = 4 og x2 = –4.

Løsningene til en ligning f(x) = 0 med én ukjent kalles gjerne ligningens røtter. Det å bestemme alle slike verdier blir kalt å løse ligningen.

Innen ligningsteorien studerer man metoder til å løse en ligning, eller mer generelt, til å løse flere ligninger på en gang (simultane ligninger).

Ligninger deles i to hovedklasser, de algebraiske og de transcendente ligningene. I transcendente ligninger opptrer transcendente funksjoner. Noen eksempler på transcendente ligninger er 3x = 7 eller 3sinx + 5cosx = 5.

En algebraisk ligning med en ukjent kan alltid føres tilbake til den generelle formen xn + a1·xn–1 + ... +an–1·x + an = 0, og algebraisk ligningsteori dreier seg om løsningen av slike ligninger.

Problemer som fører til ligninger av første grad treffer man på i ulike sammenhenger i den elementære matematikken. Kileskrifttavler fra cirka 2000 år fvt. viser at allerede babylonerne kjente en fremgangsmåte til å løse andregradsligninger x2 + ax + b = 0 som svarer til formelen \[x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2-4b}}{2}\]

Senere gresk matematikk gav løsningene ved hjelp av geometriske konstruksjoner.

Den neste naturlige oppgaven er løsningen av tredjegradsligninger, og den ble ikke gjennomført før på begynnelsen av 1500-tallet av den italienske matematiske skolen i Bologna. Det må her fremheves at man ønsker å løse ligningen ved rottegn, det vil si ved uttrykk som tilfredsstiller ligningen og som er utledet av koeffisientene i ligningen ved de fire regningsartene og rotutdragninger. Løsningen av tredjegradsligningen ble sannsynligvis gitt først av Scipione del Ferro omkring 1515 og senere uavhengig av Niccolò Tartaglia, men den ble først offentliggjort av Girolamo Cardano i hans verk Ars magna (1545), sammen med løsningen av fjerdegradsligningen, funnet av Cardanos elev Lodovico Ferrari. Det kom til en bitter prioritetsstrid mellom Cardano og Ferrari, som hadde gitt løsningen av tredjegradsligningen til Cardano under taushetsløfte.

I de følgende århundrer, etter som det algebraiske tegnspråk ble utviklet og de komplekse tallene ble kjent, fikk man også større oversikt over egenskapene til algebraiske ligninger. Det var tidlig kjent at hvis man tillot komplekse tall som røtter, så ville enhver ligning av n-te grad ha n røtter. Denne satsen kalles algebraens fundamentalsats, og den ble først bevist av Carl Friedrich Gauss (1799).

I en avhandling trykt i Oslo i 1824 beviste Niels Henrik Abel at femtegradsligningen, og derfor en generell n-te grads ligning i alminnelighet, ikke kan løses ved rottegn. Imidlertid finnes det ligninger av vilkårlig høy grad som kan løses ved rottegn, og da står spørsmålet igjen om å finne de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for eksistensen av en slik løsning for en gitt ligning. Dette problemet ble løst av Évariste Galois (1811–1832) ved hjelp av gruppeteori.

I tallteorien studeres de såkalte ubestemte eller diofantiske ligningene. Som regel har man bare én ligning med flere ukjente, men også i noen tilfeller ligningssystemer med flere ukjente enn ligninger, og man ønsker å finne løsninger som er rasjonale eller hele tall. Fermats sats er et berømt eksempel på en diofantisk ligning. De diofantiske ligningene er oppkalt etter Diofantos fra Alexandria, som skrev et større arbeid om spesielle klasser av ubestemte ligninger.

I algebraiske ligninger forekommer de ukjente i uttrykk som er fremkommet ved de fire regningsartene. Andre operasjoner kan også innføres, og man får da andre typer av ligninger, for eksempel differensialligninger, integralligninger, funksjonalligninger og differensligninger.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om eller kommentarer til artikkelen?

Kommentaren din vil bli publisert under artikkelen, og fagansvarlig eller redaktør vil svare når de har mulighet.

Du må være logget inn for å kommentere.