areal

Areal, det vil si flateinnhold, er en matematisk betegnelse. Flateinnholdet til et plant (rett) flatestykke er vanligvis definert som det antallet flateenheter det inneholder (eller som dets forhold til flateenheten). I den elementære geometrien blir flateinnholdet av en mangekant bestemt ut fra følgende tre forutsetninger:

1) Et kvadrat med lengdeenheten til side har et flateinnhold lik 1 flateenhet.

2) Kongruente flatestykker skal ha samme flateinnhold.

3) Arealet av et plant flatestykke som er sammensatt av to andre, skal være summen av delenes flateinnhold.

Ved en figur begrenset av rette linjer beregnes flateinnholdet ofte ved triangulering, idet figuren oppdeles i trekanter, hvis areal beregnes hver for seg etter formlene for trekanters flateinnhold. Når figuren ikke har en rettlinjet begrensning, tilnærmer man den ved polygoner og anvender samme fremgangsmåte.

Matematisk svarer beregning av flateinnholdet til integrasjon. Det arealet som begrenses ved x-aksen, to ordinater x = a og x = b og kurven y = f(x), er gitt ved det bestemte integral

\[A=\int\limits_a^b f(x) \, \mathrm{d}x\]

Ved en krum flate kan arealet defineres og beregnes som grenseverdien for et omskrevet polyeders overflate, eller ved integrasjon.

Når figuren er opptrukket på papir, som f.eks. i et kart, kan man måle flateinnholdet direkte ved de såkalte integrafene eller planimetre, som finnes i forskjellige typer. Man følger konturen av en lukket kurve med planimeterets spiss, og flateinnholdet kan avleses på et målehjul.