aksiom

Det kanskje mest kjente aksiomatiske systemet som finnes ble utviklet av den greske matematikeren Euklid i hans geometriske system. I Euklids system ligger et knippe påstått selvinnlysende aksiomer og definisjoner til grunn for all annen kunnskap i geometri. Alle øvrige geometriske sannheter kan derfor utledes deduktivt fra de grunnleggende aksiomene og definisjonene.

I filosofi knyttes bruken av aksiomer særlig til de store rasjonalistiske systemene utviklet av filosofer som René Descartes, Baruch Spinoza og Gottfried Wilhelm Leibniz. Descartes stilte for eksempel som krav til sikker kunnskap at den tar utgangspunkt i så klare og selvinnlysende påstander eller prinsipper at de ikke kan rasjonelt betviles. For å finne frem til disse aksiomene gjorde han bruk av det han kalte metodisk tvil ved å vurdere om ulike påstander lar seg rasjonelt betvile som sanne. Så snart slike aksiomer er funnet, var tanken å utlede all annen kunnskap fra et slikt aksiomatisk utgangspunkt.

Descartes hevdet i verket Méditationes de prima philosophia fra 1641 at hans eksistens som et tenkende vesen fungerte som et slikt aksiom. Dette var noe han kom frem til gjennom meditasjonsøvelser der han anvendte den metodiske tvil som verktøy for å kvitte seg med alt som rasjonelt kan betviles. Det eneste som ikke kunne betviles, hevdet Descartes, var hans egen eksistens som tenkende vesen. Fordi selve det å tvile forutsetter at han eksisterer som tenkende. Følgelig kan ikke hans eksistens betviles. Fra dette utgangspunktet hevdet han så at det ville la seg gjøre å utlede all annen sikker kunnskap om seg selv og verden.

Baruch Spinoza anvendte langt på vei samme aksiomatiske metode, men han anvendte den mer tradisjonelt og i tråd med hvordan Euklid utformet sin geometriske modell. I boken Etikken fra 1677 tar derfor Spinoza utgangspunkt i et antall aksiomer og definisjoner snarere enn å fordype seg i meditasjoner slik som Descartes gjorde. Deretter gjør Spinoza bruk av disse for å utlede andre viktige metafysiske og etiske prinsipper og påstander.

Gottlob Frege, Alfred Whitehead og Bertrand Russell har i nyere tid prøvd å skape nye systemer der forbindelsene mellom logikk og matematikk klargjøres, ved å bygge opp aksiomatiske systemer for å forklare begge. Den aksiomatiske metoden innebar for disse å bygge opp et eget symbolspråk gjennom utstrakt formalisering, som et alternativ til det upresise ved naturlige språk, med blant annet håp om å kunne forklare matematikk som utledet av grunnleggende logiske og tautologiske aksiomer.

Dette prosjektet har langt på vei blitt lagt på is slik det fremstod i sin opprinnelige form i og med Kurt Gödels ufullstendighetsteorem. Gödel viste nemlig at alle logiske systemer som blir rike nok, av nødvendighet slutter å være demonstrerbare. Følgelig vil ikke et rikt system som matematikk kunne la seg dedusere og demonstrere på grunnlag av den aksiomatiske metode.

• aksiom innen matematikk
• deduksjon
• deduktiv metode