Snittet \(A\cap B\) av \(A\) og \(B\) er mengden som består av de elementene som \(A\) og \(B\) har felles.

av Cepheus, wikimedia commons. fri

Mengdelære, gren av matematikken hvor begrepet mengde har fått en sentral plass. Med en mengde i denne sammenheng menes en samling objekter, til vanlig kalt elementer, som kan være virkelige eller tenkte, men må være entydig definerte.

I de fleste anvendelser er elementene tall, symboler for tall, funksjoner, punkter eller linjer; elementene kan også selv være mengder. Det er ikke noe krav at elementene i en bestemt mengde må være av samme slag.

Mengdelæren ble grunnlagt av den tyske matematikeren Georg Cantor som levde mellom 1845 og 1918. Hans ideer brakte nye synsmåter inn i mange matematiske problemer, og mengdelæren med dens terminologi har fått stor betydning innenfor en rekke felter av matematikken. En god del av det man befatter seg med i matematikken kan nemlig oppfattes som mengder og relasjoner mellom mengder.

Med mengdelæren kom en rekke nye symboler inn i matematikken, og de viktigste vil bli forklart nedenfor.

Mengder betegnes vanligvis med store bokstaver \(A,\,B,\,C\) osv., og de tilhørende elementer blir i regelen stilt etter hverandre atskilt med komma innenfor en klammeparentes { }, i mengdelæren ofte kalt mengdeparentes.

Eksempel: \(A = \{3,4,5,6\}\); leses: \(A\) er mengden av (tallene) 3,4,5 og 6. Ønsker man å gi uttrykk for at tallet 4 er element i mengden \(A\), kan man bruke elementsymbolet, \(\in\), og skrive \(4\in A\), som leses 4 er element i \(A\). Tallet 2 er ikke element i \(A\), og dette vises slik: \(2\notin A\).

Ofte oppgir man ikke elementene i en mengde direkte, men bruker i stedet en såkalt mengdebygger {... |  ...}. Innenfor mengdeparentesen innfører man da en variabel størrelse, f.eks. \(x\), og bak den loddrette streken | følger en forklaring på hva den variable størrelsen står for.

Ved hjelp av mengdebyggeren og symbolet \(\mathbb{N}\) for mengden av de naturlige tall kan mengden \(A = \{3,4,5,6\}\) skrives slik: \(A = \{x | x \in \mathbb{N},\, 2<x<7\}\) og leses: \(A\) er mengden av alle \(x\) slik at \(x\) tilhører de naturlige tall og \(x\) er større enn 2 og mindre enn 7.

En endelig mengdes kardinaltall eller mektighet er lik antallet elementer i mengden.

Når det gjelder uendelige mengder, for eksempel \(\mathbb{N}\) og \(\mathbb{R}\) (mengden av alle naturlige tall og mengden av alle reelle tall), skilles det mellom tellbare og ikke tellbare mengder. \(\mathbb{N}\) er tellbar (uformelt kan vi si at en uendelig mengde er tellbar dersom den har «like mange» elementer som mengden av de naturlige tall) mens  \(\mathbb{R}\) er en ikke tellbar mengde.

Se videre kardinaltall.

En mengde \(A\) er delmengde av en mengde \(B\) hvis alle elementer i \(A\) også er elementer i \(B\). Dette kan uttrykkes matematisk ved \(A\subseteq B\). Her står symbolet \(\subseteq\) (inklusjonstegnet) for er delmengde av eller lik (er inkludert i).

Skriver man \(A\subset B\), utelukkes \(A=B\), og \(A\) kalles da en ekte delmengde av \(B\). Eksempel:  \(A = \{3,4,5,6\}\) og  \(B = \{3,4,5,6,7,8\}\). Her er \(A\) en ekte delmengde av \(B\), dvs. \(A\subset B\).

Med snittet av to mengder \(A\) og \(B\) mener man mengden av alle elementer som hører både til \(A\) og til \(B\). Denne mengden kalles også fellesmengden eller snittmengden av \(A\) og \(B\).

Ved hjelp av symbolet for snitt, \(\cap\), kan snittet av \(A\) og \(B\) matematisk gis denne form: \(A \cap B = \{x | x\in A \text{ og } x\in B\}\); som leses: \(A\) snitt \(B\) er mengden av alle \(x\) som er element i \(A\) og også element i \(B\). Eksempel: \(A = \{3,4,5,6\}\) og  \(B = \{4,6,8,10\}\). Her er  \(A \cap B = \{4,6\}\).

Med unionen mellom to mengder \(A\) og \(B\) mener man mengden av alle elementer som tilhører minst en av mengdene \(A\) og \(B\). Ved hjelp av symbolet for union (forening), \(\cup\), kan dette skrives: \(A \cup B = \{x | x\in A \text{ eller } x\in B\}\). Vi leser: \(A\) union \(B\) (unionen av \(A\) og \(B\)) er mengden av alle \(x\) som er element enten i \(A\) eller i \(B\) eller i begge. Eksempel:  \(A = \{3,4,5,6\}\) og  \(B = \{2,4,6,8\}\). Her er  \(A \cup B = \{2,3,4,5,6,8\}\).

Med differensmengden mellom to mengder \(A\) og \(B\) menes mengden av alle elementer som hører til \(A\), men ikke til \(B\). Ved hjelp av symbolet for mengdedifferens, \(\setminus\) (les minus), kan differensmengden gis denne matematiske utforming: \(A\setminus B = \{x | x\in A \text{ og } x\notin B\}\).

Her står: differensmengden mellom  \(A\) og \(B\) er mengden av alle \(x\) slik at \(x\) er element i \(A\) og \(x\) ikke er element i \(B\). Eksempel:\(A = \{1,3,4,5,7,9\}\) og  \(B = \{2,3,4,5\}\) gir differensmengden \(A\setminus B = \{1,7,9\}\).

I mange tilfeller har vi en forhåndsdefinert grunnmengde, også kalt et univers, som alle mengdene vi betrakter er delmengder av. Dersom grunnmengden for eksempel er mengden  \(\mathbb{N}\) av alle naturlige tall, trenger vi ikke å spesifisere for hver mengde at \(x\in \mathbb{N}\) .

Komplementmengden til en delmengde \(A\) som tilhører grunnmengden \(G\) er mengden av alle elementer i \(G\) som ikke hører til \(A\). Komplementmengden til \(A\) skrives \(\overline{A}\).

Med produktmengden av \(A\) og \(B\), \(A \times B\)  (les: \(A\) kryss \(B\)) forstår man mengden av alle ordnede par \((x,y)\) slik at \(x\) hører til \(A\) og \(y\) hører til \(B\). Matematisk kan dette skrives: \(A \times B = \{(x,y) | x\in A \text{ og } y \in B\}\). Eksempel: \(A = \{2,3\}\) og  \(B = \{4,5,6\}\) gir \(A \times B = \{(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}\).

Med den tomme mengde menes en mengde uten elementer. Symbolet er \(\emptyset\) (les: den tomme mengde, ikke ø); den kan også skrives som \(\{\,\,\}\). Den tomme mengden er snittmengden for to mengder som ikke har noen felles elementer; eksempel: \(\{5,10,15,20\} \cap \{4,8,12,16\} = \emptyset\). Merk at \(\{ 0 \}\) ikke er \(\emptyset\), men en mengde med ett element, nemlig null. Den tomme mengde er delmengde av alle mengder.

En del symboler brukt i matematisk logikk anvendes også i mengdelæren. Istedenfor ordet eller (enten–eller, eller begge) brukes ofte symbolet \(\vee\). Eksempel: \(A \cup B = \{x | x\in A \vee x\in B\}\). Istedenfor ordet og (både og) brukes ofte symbolet \(\wedge\). Eksempel: \(A \cap B = \{x | x\in A \wedge x\in B\}\).

Istedenfor ordet ikke brukes ofte symbolet \(\neg\) (negasjon).

Istedenfor ord som medfører, herav følger bruker man implikasjonspil \(\Rightarrow\). Eksempel:\(x < 3 \Rightarrow x < 5\). Istedenfor ekvivalent med bruker man ekvivalenspil \(\Leftrightarrow\). Eksempel: \(x\in A \cap B \Leftrightarrow ( x\in A) \wedge  (x\in B)\).

Istedenfor for alle \(x\) gjelder at ... brukes symbolet \(\forall\), og istedenfor det eksisterer en \(x\) slik at brukes symbolet \(\exists\) (henholdsvis allkvantor og eksistenskvantor, jf. kvantor.).

Ofte anskueliggjøres mengder ved lukkede kurver, Venn-diagrammer, utviklet av John Venn, som omslutter alle elementene i en mengde. Ved hjelp av slike diagrammer kan man forholdsvis lett forklare hva man mener for eksempel med snittet av mengdene \(A\) og \(B\), som man kan se av figuren.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om eller kommentarer til artikkelen?

Kommentaren din vil bli publisert under artikkelen, og fagansvarlig eller redaktør vil svare når de har mulighet.

Du må være logget inn for å kommentere.