Mengdelære er en gren av matematikken hvor begrepet mengde har en sentral plass. En mengde i denne sammenhengen er en samling objekter, til vanlig kalt elementer. Vanligvis er elementene tall, symboler for tall, funksjoner, punkter eller linjer. Elementene kan også selv være mengder. Det er ikke noe krav at alle elementene i en mengde må være av samme slag.

En mengde kan være endelig eller uendelig. Mengden av alle naturlige tall er et eksempel på en uendelig mengde, mens mengden av alle naturlige tall fra 1 til 10 er en endelig mengde.

Mengdelæren ble grunnlagt av den tyske matematikeren Georg Cantor, som levde mellom 1845 og 1918. Hans ideer brakte nye synsmåter inn i mange matematiske problemer, og mengdelæren har fått stor betydning på en rekke områder innen matematikken. En god del av det matematikken dreier seg om kan nemlig oppfattes som mengder og relasjoner mellom mengder.

Symboler

Med mengdelæren kom en rekke nye symboler inn i matematikken.

Mengder betegnes vanligvis med store bokstaver \(A,\,B,\,C\) og så videre, og de tilhørende elementene blir i regelen stilt etter hverandre atskilt med komma innenfor en klammeparentes { }. I mengdelæren kalles den gjerne en mengdeparentes.

Eksempel: \(A = \{3,4,5,6\}\); leses: «\(A\) er mengden av (tallene) 3,4,5 og 6». Ønsker man å gi uttrykk for at tallet 4 er element i mengden \(A\), kan man bruke elementsymbolet, \(\in\), og skrive \(4\in A\), som leses «4 er element i \(A\)». Tallet 2 er ikke element i \(A\), og dette vises slik: \(2\notin A\).

Mengdebygger

venn-diagram
Det blå området viser alt som hører til mengden A.
venn-diagram
Av /Shutterstock.

Ofte oppgir man ikke elementene i en mengde direkte, men bruker i stedet en såkalt mengdebygger {... |  ...}. Innenfor mengdeparentesen innfører man da en variabel størrelse, for eksempel \(x\), og bak den loddrette streken | følger en forklaring på hva den variable størrelsen står for.

Ved hjelp av mengdebyggeren og symbolet \(\mathbb{N}\) for mengden av de naturlige tall kan mengden \(A = \{3,4,5,6\}\) skrives slik: \(A = \{x | x \in \mathbb{N},\, 2<x<7\}\) og leses: «\(A\) er mengden av alle \(x\) slik at \(x\) tilhører de naturlige tall og \(x\) er større enn 2 og mindre enn 7», det vil si at \(A\) er mengden av alle naturlige tall fra 3 til 6.

En endelig mengdes kardinaltall eller mektighet er lik antallet elementer i mengden.

Uendelige mengder

Når det gjelder uendelige mengder, for eksempel \(\mathbb{N}\) og \(\mathbb{R}\) (mengden av alle naturlige tall og mengden av alle reelle tall), skilles det mellom tellbare og ikke tellbare mengder. \(\mathbb{N}\) er tellbar (uformelt kan vi si at en uendelig mengde er tellbar dersom den har «like mange» elementer som mengden av de naturlige tall) mens \(\mathbb{R}\) er en ikke tellbar mengde.

Kardinaltallene til uendelige mengder skrives ved hjelp av den hebraiske bokstaven alef, som har symbol \(\aleph \). Tellbare mengder, som de naturlige tallene, har kardinaltall \(\aleph _0 \), mens mengden av de reelle tallene har kardinaltall \(\aleph _1 \)

Delmengde

En mengde \(A\) er delmengde av en mengde \(B\) hvis alle elementene i \(A\) også er elementer i \(B\). Dette kan uttrykkes matematisk ved \(A\subseteq B\). Her står symbolet \(\subseteq\) (inklusjonstegnet) for er delmengde av eller lik (er inkludert i).

Skriver man \(A\subset B\), utelukkes \(A=B\), og \(A\) kalles da en ekte delmengde av \(B\). Eksempel: \(A = \{3,4,5,6\}\) og \(B = \{3,4,5,6,7,8\}\). Her er \(A\) en ekte delmengde av \(B\), det vil si at \(A\subset B\).

Venn-diagram

Ofte illustrerer man mengder ved hjelp av lukkede kurver som kalles Venn-diagrammer. De ble utviklet av John Venn, og hver lukkede kurve omslutter alle elementene i en mengde. Alle illustrasjonene til denne artikkelen er eksempler på Venn-diagrammer.

Snitt

Venn-diagram av snittet mellom to mengder
Det blå området viser snittet av mengdene A og B, det vil si alle elementene som både er i A og i B.
Venn-diagram av snittet mellom to mengder
Av /Shutterstock.

Snittet av to mengder \(A\) og \(B\) er mengden av alle elementer som hører både til \(A\) og til \(B\). Denne mengden kalles også fellesmengden eller snittmengden av \(A\) og \(B\).

Ved hjelp av symbolet for snitt, \(\cap\), kan snittet av \(A\) og \(B\) matematisk gis denne form: \(A \cap B = \{x | x\in A \text{ og } x\in B\}\); som leses: \(A\) snitt \(B\) er mengden av alle \(x\) som er element i \(A\) og også element i \(B\). Eksempel: \(A = \{3,4,5,6\}\) og \(B = \{4,6,8,10\}\). Her er \(A \cap B = \{4,6\}\).

Union

venn-diagram som viser unionen av to mengder
Det blå området viser unionen av mengdene A og B, det vil si alle elementene som er enten i A eller i B eller i begge.
venn-diagram som viser unionen av to mengder
Av /Shutterstock.

Unionen mellom to mengder \(A\) og \(B\) er mengden av alle elementer som tilhører minst en av mengdene \(A\) og \(B\). Ved hjelp av symbolet for union, \(\cup\), kan dette skrives: \(A \cup B = \{x | x\in A \text{ eller } x\in B\}\). Vi leser: «\(A\) union \(B\) er unionen av \(A\) og \(B\)», eller «\(A\) union \(B\) er mengden av alle \(x\) som er element enten i \(A\) eller i \(B\) eller i begge».

Eksempel: \(A = \{3,4,5,6\}\) og \(B = \{2,4,6,8\}\). Her er \(A \cup B = \{2,3,4,5,6,8\}\).

Differensmengde

Det blå området viser differensmengden mellom A og B, det vil si alle elementene som er i A, men som ikke er i B.
/Shutterstock.

Differensmengden mellom to mengder \(A\) og \(B\) er mengden av alle elementer som hører til \(A\), men ikke til \(B\). Ved hjelp av symbolet for mengdedifferens, \(\setminus\) (les minus), kan differensmengden gis denne matematiske utformingen: \(A\setminus B = \{x | x\in A \text{ og } x\notin B\}\).

Her står: differensmengden mellom \(A\) og \(B\) er mengden av alle \(x\) slik at \(x\) er element i \(A\) og \(x\) ikke er element i \(B\).

Eksempel:\(A = \{1,3,4,5,7,9\}\) og \(B = \{2,3,4,5\}\) gir differensmengden \(A\setminus B = \{1,7,9\}\).

Grunnmengde

I mange tilfeller har vi en forhåndsdefinert grunnmengde, også kalt et univers, som alle mengdene vi betrakter er delmengder av. Dersom grunnmengden for eksempel er mengden \(\mathbb{N}\) av alle naturlige tall, trenger vi ikke å spesifisere for hver mengde at \(x\in \mathbb{N}\) .

Komplementmengde

Det blå området viser komplementmengden til A, det vil si alle elementene som ikke hører til A.
/Shutterstock.

Komplementmengden til en delmengde \(A\) som tilhører grunnmengden \(G\) er mengden av alle elementer i \(G\) som ikke hører til \(A\). Komplementmengden til \(A\) skrives \(\overline{A}\).

Eksempel: I \(\mathbb{N}\) er mengden av alle partall komplementmengden til mengden av alle oddetall.

Produktmengde

Produktmengden av \(A\) og \(B\), \(A \times B\) (les: \(A\) kryss \(B\)) er mengden av alle ordnede par \((x,y)\) slik at \(x\) hører til \(A\) og \(y\) hører til \(B\). Matematisk kan dette skrives: \(A \times B = \{(x,y) | x\in A \text{ og } y \in B\}\). Eksempel: \(A = \{2,3\}\) og \(B = \{4,5,6\}\) gir \(A \times B = \{(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}\).

Den tomme mengde

Den tomme mengde er en mengde uten elementer. Symbolet er \(\emptyset\) (les: den tomme mengde, ikke ø); den kan også skrives som \(\{\,\,\}\). Den tomme mengden er snittmengden for to mengder som ikke har noen felles elementer; eksempel: \(\{5,10,15,20\} \cap \{4,8,12,16\} = \emptyset\). Merk at \(\{ 0 \}\) ikke er \(\emptyset\), men en mengde med ett element, nemlig null.

Den tomme mengde er delmengde av alle mengder.

Matematisk logikk

En del symboler brukt i matematisk logikk brukes også i mengdelæren. I stedet for ordet eller (enten–eller, eller begge) brukes ofte symbolet \(\vee\). Eksempel: \(A \cup B = \{x | x\in A \vee x\in B\}\).

I stedet for ordet og (både og) brukes ofte symbolet \(\wedge\). Eksempel: \(A \cap B = \{x | x\in A \wedge x\in B\}\).

I stedet for ordet ikke brukes ofte symbolet \(\neg\) (negasjon).

I stedet for ord som medfører, herav følger bruker man implikasjonspil \(\Rightarrow\). Eksempel:\(x < 3 \Rightarrow x < 5\). I stedet for ekvivalent med bruker man ekvivalenspil \(\Leftrightarrow\). Eksempel: \(x\in A \cap B \Leftrightarrow ( x\in A) \wedge (x\in B)\).

I stedet for for alle \(x\) gjelder at ... brukes symbolet \(\forall\), og i stedet for det eksisterer en \(x\) slik at brukes symbolet \(\exists\). Disse to symbolene kalles henholdsvis allkvantor og eksistenskvantor, se også kvantor.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg