differensialregning

Differensialregning Det grafiske bildet av funksjonen y = f(x) i et rettvinklet koordinatsystem. Se for øvrig artikkelteksten.

Differensialregning av /Store norske leksikon ※. Gjengitt med tillatelse

Differensialregning er et område innen matematikken som tar for seg fenomener som er preget av endring. Endringen kan for eksempel være bevegelse eller akselerasjon, som i mekanikken, eller utvikling og vekst, som i biologien.

Faktaboks

Uttale
differensiˈalregning

Derivasjon

Hvis en matematisk funksjon beskriver hvordan et visst fenomen forandrer seg med tiden, vil den deriverte funksjonen være et uttrykk for hvor hurtig denne forandringen skjer i hvert øyeblikk. For funksjonen y = f(x) er symbolet for den deriverte funksjonen enten eller f ʹ(x).

Analytisk definisjon

Går man ut fra en verdi av x med tilhørende funksjonsverdi f(x), og tenker seg at x får et tillegg h (positivt eller negativt), slik at funksjonsverdien blir f(x + h), vil den deriverte funksjonen f ʹ(x) være definert som grenseverdien for uttrykket \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) når h nærmer seg null.

I matematisk tegnspråk kan man uttrykke dette slik: \[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] Ordet lim er forkortelse for limes (latin 'grense').

Geometrisk definisjon

Den deriverte funksjonen f ʹ(x) kan også defineres ut fra en rent geometrisk betraktningsmåte ved å se på kurven for funksjonen y = f(x) i et rettvinklet koordinatsystem med horisontal x-akse og vertikal y-akse, og på den vinkel tangenten i et kurvepunkt danner med x-aksen.

For en sirkel er tangenten definert som en rett linje som bare har ett punkt felles med sirkelen, og en slik definisjon kan også brukes for andre enkle kurver. Men for mer kompliserte kurver blir tangenten definert ved en grensebetraktning: Tangenten til en kurve i et punkt P på kurven, er grensestillingen for sekanten man kan trekke gjennom P og et annet punkt Q på kurven når Q nærmer seg mot P (under forutsetning av at den gitte kurven er av en slik art at denne grenseovergangen har mening). I så fall vil tangenten i punktet P(x,y) på kurven danne en vinkel α med x-aksen slik at tan α = f ʹ(x).

I geometrisk formulering er derfor differensialregningens grunnproblem å bestemme tangens til en tangents vinkel med x-aksen, fordi denne verdien er et uttrykk for vinkelens størrelse, og dermed et uttrykk for hvor hurtig funksjonen vokser eller avtar i tangeringspunktet.

Selve operasjonen som består i å finne den deriverte funksjon f ʹ(x), kalles å derivere eller differensiere funksjonen. Den deriverte behøver imidlertid ikke alltid å eksistere, selv om f(x) er en kontinuerlig funksjon og geometrisk derfor er en sammenhengende kurve. En funksjon som har en derivert kalles deriverbar eller differensierbar.

Derivasjonsregler

Noen viktige derivasjonsregler.
differensialregning av /Store norske leksikon ※. Gjengitt med tillatelse

For derivering har man en rekke generelle regler. Den deriverte av summen av to funksjoner y = f(x) + g(x), er y ʹ = f ʹ(x) + g ʹ(x), og den deriverte av produktet av to funksjoner y = f(x) · g(x) er y ʹ = f(x) · g ʹ(x) + g(x) · f ʹ(x). Sammen med kjennskapet til den deriverte av en rekke spesielle funksjoner som for eksempel xn, sin x og cos x, gjør disse regler at vi kan finne uttrykk for de deriverte funksjoner som opptrer i forskjellige anvendelser. Se for øvrig tabell med noen derivasjonsregler.

I stedet for og f ʹ(x) bruker man også symbolet \(\frac{dy}{dx}\) hvor bokstaven d står for ordet differensial. Symbolet må imidlertid ikke oppfattes som en brøk i vanlig forstand.

Det er ofte hensiktsmessig å derivere en funksjon to eller flere ganger på rad. Den første deriverte blir da f ʹ(x), den andre deriverte f ʹʹ(x) og så videre.

Er en funksjon avhengig av to variabler, for eksempel z = f(x,y), kan det oppstå behov for å derivere funksjonen under den forutsetning at for eksempel y er konstant og x variabel. Da skriver man ofte resultatet slik: \(\frac{\partial f}{\partial x}\) og leser: den partielle deriverte av f med hensyn på x.

Historikk

Allerede i gresk matematikk var det tilløp til en problembehandling som man nå vil regne til differensialregningen. Mer direkte forløpere til differensialregningen finner man på 1500- og 1600-tallet, særlig navn som Bonaventura Cavalieri, Johannes Kepler og Pierre de Fermat.

Det er imidlertid Isaac Newton og Gottfried Wilhelm von Leibniz som regnes som de egentlige grunnleggere av dagens differensialregning, som sammen med integralregning inngår som en vesentlig del i mange grener av matematikken og i matematisk betonte vitenskaper, for eksempel fysikk, astronomi, statistikk og samfunnsøkonomi.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg