Differensialregning, disiplin som har sitt utgangspunkt og sin motivasjon i de deler av naturvitenskapen hvor man studerer ulike fenomeners forandring eller dynamikk. Forandringen kan være bevegelse eller akselerasjon som i mekanikken, eller utvikling og vekst som i biologien.

Hvis en matematisk funksjon beskriver hvordan et visst fenomen forandrer seg med tiden, vil den deriverte funksjon være et uttrykk for hvor hurtig denne forandringen skjer i hvert øyeblikk. For funksjonen y = f(x) er symbolet for den deriverte funksjon eller f ʹ(x). Går man ut fra en fritt valgt verdi av x med tilhørende funksjonsverdi f(x) og tenker seg at x får et tillegg h (positivt eller negativt), slik at funksjonsverdien blir f(x + h), vil den deriverte funksjon f ʹ(x) være definert som grenseverdien for uttrykket \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) når h nærmer seg null. I matematisk tegnspråk kan man uttrykke dette slik: \[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] Ordet lim er forkortelse for limes (lat. 'grense').

Innføringen av den deriverte funksjon f ʹ(x) kan også motiveres ut fra en rent geometrisk betraktningsmåte ved å se på det grafiske bildet (kurven) for en funksjon y = f(x) i et rettvinklet koordinatsystem og på den vinkel tangenten i et kurvepunkt danner med x-aksen. I elementær geometri inntar sirkelen en sentral plass, og her er tangenten definert som en rett linje som bare har ett punkt felles med sirkelen. En slik definisjon kan også brukes for andre enkle kurver, men ikke for kurver av mer komplisert form. For slike kurver blir tangenten definert ved en grensebetraktning: tangenten til en kurve i et punkt P på kurven, er grensestillingen for sekanten man kan trekke gjennom P og et annet punkt Q på kurven når Q nærmer seg mot P (under forutsetning av at den gitte kurven er av en slik art at denne grenseovergangen har mening). I så fall vil tangenten i punktet P(x,y) på kurven danne en vinkel α med x-aksen slik at tan α = f ʹ(x). I geometrisk formulering er derfor differensialregningens grunnproblem å bestemme tangens til en tangents vinkel med x-aksen, fordi denne verdien er et uttrykk for vinkelens størrelse og dermed et uttrykk for hvor hurtig funksjonen vokser eller avtar i tangeringspunktet.

Selve operasjonen som består i å finne den deriverte funksjon f ʹ(x), kalles å derivere eller differensiere funksjonen. Den deriverte behøver imidlertid ikke alltid å eksistere, selv om f(x) er en kontinuerlig funksjon og geometrisk derfor er en sammenhengende kurve. En funksjon som har en derivert kalles deriverbar eller differensierbar.

For derivering har man en rekke generelle regler. Den deriverte av summen av to funksjoner y = f(x) + g(x), er y ʹ = f ʹ(x) + g ʹ(x), og den deriverte av produktet av to funksjoner y = f(x) · g(x) er y ʹ = f(x) · g ʹ(x) + g(x) · f ʹ(x). Sammen med kjennskapet til den deriverte av en rekke spesielle funksjoner som f.eks. xn, sin x og cos x, gjør disse regler at vi kan finne uttrykk for de deriverte funksjoner som opptrer i forskjellige anvendelser. Se for øvrig tabell med noen derivasjonsregler.

I stedet for og f ʹ(x) bruker man også symbolet \(\frac{dy}{dx}\) hvor bokstaven d står for ordet differensial. Symbolet må imidlertid ikke oppfattes som en brøk i vanlig forstand.

Det er ofte hensiktsmessig å derivere en funksjon to eller flere ganger på rad. Den første deriverte blir da f ʹ(x), den annen deriverte f ʹʹ(x) osv.

Er en funksjon avhengig av to variabler, f.eks. z = f(x,y), kan det oppstå behov for å derivere funksjonen under den forutsetning at f.eks. y er konstant og x variabel. Da skriver man ofte resultatet slik: \(\frac{\partial f}{\partial x}\) og leser: den partielle deriverte av f med hensyn på x.

Allerede i gresk matematikk var det tilløp til en problembehandling som man nå vil regne til differensialregningen. Mer direkte forløpere til differensialregningen finner man på 1500- og 1600-tallet, særlig navn som B. Cavalieri, J. Kepler og P. de Fermat. Det er imidlertid Isaac Newton og Gottfried Wilhelm von Leibniz som regnes som de egentlige grunnleggere av dagens differensialregning, som sammen med integralregning inngår som en vesentlig del i mange grener av matematikken og i matematisk betonte vitenskaper, f.eks. fysikk, astronomi, statistikk og samfunnsøkonomi.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål til artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.