Laplace-operatoren

Laplace-operatoren er en av de mest sentrale operatorene i matematikk og fysikk. Symbolet for operatoren er vanligvis Δ eller \(\nabla^2\). Symbolet \(\nabla\) kalles nabla.

Hvis f(x, y, z) er en funksjon av tre variable, er Δf funksjonen som er definert ved

\[\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\]

Definisjonen for et annet antall variable er tilsvarende. Dersom Δf (x, y, z) = 0 i alle punkter (x, y, z) i et område D, sies f å være en harmonisk funksjon i D. Læren om harmoniske funksjoner kalles potensialteori.

I fysikk inngår Laplace-operatoren i de grunnleggende differensialligningene for varmespredning, diffusjon, bølgebevegelse, elektrisk og tyngde-potensial samt kvantemekanikk (schrödingerligningen). Dette kan forklares med at grunnleggende fysiske lover er uavhengig av hvilket koordinatsystem man bruker, og Laplace-operatoren er den enkleste differensialoperatoren som har en tilsvarende matematisk egenskap.

Det finnes fruktbare generaliseringer av Laplace-operatoren til blant annet flater (mangfoldigheter), fraktaler og uendeligdimensjonale rom.