Laplace-operatoren, en av de mest sentrale operatorene i matematikk og fysikk, oppkalt etter P. S. Laplace, benevnes gjerne med Δ eller \(\nabla^2\). Hvis f(x, y, z) er en funksjon av tre variable, er Δf funksjonen definert ved

\[\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\]

og definisjonen for et annet antall variable er tilsvarende. Dersom Δf (x, y, z) = 0 i alle punkter (x, y, z) i et område D, kalles f en harmonisk funksjon i D.

Læren om harmoniske funksjoner kalles potensialteori. I fysikk inngår Laplace-operatoren i de grunnleggende ligningene for varmespredning, diffusjon, bølgebevegelse, (elektrisk og tyngde-)potensial samt kvantemekanikk (Schrödinger-ligningen). Dette kan forklares med at grunnleggende fysiske lover er uavhengig av hvilket koordinatsystem man bruker, og at Laplace-operatoren er den enkleste differensialoperatoren med en tilsvarende matematisk egenskap.

Det finnes fruktbare generaliseringer av Laplace-operatoren til bl.a. flater (mangfoldigheter), fraktaler og uendelig dimensjonale rom.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål til artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.