Logaritmen til et positivt tall er (i den elementære matematikken) den potenseksponenten som et bestemt positivt tall, grunntallet, må opphøyes i for å gi det gitte tall, numerus. Er g x = a, så er x logaritmen til a med g som grunntall. Dette skrives x = logg a. For eksempel er 103 = 1000, så log10 1000 = 3 (logaritmen til 1000, med grunntall 10, er lik 3).

Logaritmer kan brukes til å lette tallregninger;

  • logaritmen til et produkt er lik summen av faktorenes logaritmer,
  • logaritmen til en brøk er differensen mellom tellerens og nevnerens logaritmer,
  • logaritmen til en potens er rotens logaritme multiplisert med eksponenten, og
  • logaritmen til en rotstørrelse er radikandens logaritme dividert med roteksponenten.

Skal man beregne \(\sqrt[7]{456}\) ved logaritmeregning, finner man logaritmen til 456 i en logaritmetabell, dividerer logaritmen med 7, og deretter søker man i tabellen det tallet (numerus) som har den funne kvotienten til logaritme. Man reduserer med dette multiplikasjon til addisjon, divisjon til subtraksjon, potensiering til multiplikasjon og rotutdragning til divisjon. I praksis bruker man logaritmer som har 10 til grunntall, briggske logaritmer. Bruker man briggske logaritmer, skriver man nå lg a istedenfor log 10 a.

Logaritmeregning og logaritmetabeller er erstattet av elektroniske regnemaskiner, men logaritmebegrepet i form av naturlige logaritmer er viktig i teoretisk matematikk. Grunntallet er her det transcendente tallet e = 2,71828.... Dette er definert som grenseverdien

\[e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\]

eller også som summen i en uendelig rekke

\[e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dotsc\]

Sammenhengen mellom briggske logaritmer og naturlige logaritmer, som betegnes med ln a = loga, er gitt ved lg a = lg e · ln a for positive tall a.

Logaritmebegrepet kan også utvides til å gjelde for komplekse og negative tall.

En rekke fysiske størrelser er målt på en logaritmisk skala, for eksempel pH (surhetsgrad), Richters skala for jordskjelv og dB (desibel) for lyd. Det betyr at en økning på 1 enhet på Richters skala svarer til en 10-dobling av styrken på jordskjelvet.

Logaritmefunksjonen er den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen, og skrives logg x for positive x. Tallet g, som må være positivt og forskjellig fra 1, er grunntallet for logaritmefunksjonen. Logaritmefunksjonen tilfredsstiller funksjonalligningen f(A·B) = f(A) + f(B), ettersom logg xy = logg x + logg y. Sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen ax og logaritmefunksjonen med a som grunntall er gitt ved logaax = x for alle reelle tall x, og alogax = x for alle positive tall x.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

19. januar skrev Helge Holden

det er et problem med typesettingen av
"betegnes med \(ln a =loge a\), "
Kan du fikse det? Takk

Har du spørsmål om artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.