logaritme

Logaritmen til et tall er det tallet et bestemt tall, grunntallet, må opphøyes i for å få det aktuelle tallet. For eksempel er logaritmen til 1000 lik 3 når grunntallet er 10, fordi 10 må opphøyes i 3 for å bli 1000, det vil si at 103 = 1000. Det er bare positive tall man kan finne logaritmen til.

Faktaboks

Uttale
logarˈitme
Etymologi
latin nydannet til gresk ‘forhold’ og ‘tall’

Når g x = a, så sier man at x er logaritmen til a med g som grunntall. Dette skrives x = logg a.

Regneregler

Logaritmer kan brukes til å lette tallregning ved hjelp av følgende regneregler:

Eksempel: Skal man beregne \(\sqrt[7]{456}\) ved logaritmeregning, finner man logaritmen til 456, dividerer logaritmen med 7, og deretter søker man i en logaritmetabell etter det tallet (numerus) som har dette tallet til logaritme.

Man reduserer med dette multiplikasjon til addisjon, divisjon til subtraksjon, potensregning til multiplikasjon og rotutdragning til divisjon.

I praksis bruker man logaritmer som har 10 til grunntall. Disse kalles briggske logaritmer. Bruker man briggske logaritmer, skriver man nå lg a istedenfor log 10 a.

Naturlige logaritmer

Logaritmeregning og logaritmetabeller er nå i praksis erstattet av kalkulatorer, men logaritmebegrepet i form av naturlige logaritmer er viktig i teoretisk matematikk. Grunntallet (basisen) er her det transcendente tallet e = 2,71828.... Dette er definert som grenseverdien

\[e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\]

Det kan også defineres som summen av en uendelig rekke

\[e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dotsc\]

Sammenhengen mellom briggske logaritmer og naturlige logaritmer, som betegnes med ln a = loge a, er gitt ved lg a = lg e · ln a for positive tall a.

Logaritmebegrepet kan også utvides til å gjelde for komplekse og negative tall.

Anvendelse

Det er mange fysiske størrelser som måles på en logaritmisk skala. Dette gjelder for eksempel surhetsgrad (pH), Richters skala for jordskjelv og desibel (dB) for lyd.

Dette betyr at en økning på 1 enhet på Richters skala svarer til en tidobling av styrken på jordskjelvet.

Logaritmefunksjonen

Logaritmefunksjonen er den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen, og skrives logg x for positive x. Tallet g, som må være positivt og forskjellig fra 1, er grunntallet for logaritmefunksjonen. Logaritmefunksjonen tilfredsstiller funksjonalligningen f(A·B) = f(A) + f(B), ettersom logg xy = logg x + logg y.

Sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen ax og logaritmefunksjonen med a som grunntall er gitt ved logaax = x for alle reelle tall x, og alogax = x for alle positive tall x.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg