De komplekse tall, en utvidelse av det reelle tallområdet slik at alle mulige rotutdragninger kan utføres, i tillegg til de fire elementære regningsartene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Symbolet for mengden av de komplekse tall er \(\mathbb{C}\). Det enkleste eksempelet på en situasjon der vi har behov for en slik utvidelse, er ligningen x2 + 1 = 0, som ikke har noen løsning blant de reelle tall ettersom \(\sqrt{-1}\) ikke er definert i \(\mathbb{R}\). Vi innfører et nytt symbol i, den imaginære enhet, som defineres ved at \(i^2=-1\). Ligningen har da løsningen ±i.

Et komplekst tall defineres nå som et element på formen a + ib, hvor a og b er reelle tall. Man kaller a den reelle delen (realdelen) og ib den imaginære delen av det komplekse tallet a + ib. Dersom a = 0, sies tallet å være rent imaginært. Tallet a – ib kalles det konjugerte komplekse tall til a + ib. For regning med komplekse tall gjelder følgende regler:

(a1 + ib1)±(a2 + ib2) = (a1±a2) + i(b1±b2)

(a1 + ib1)(a2 + ib2) = (a1a2b1b2) + i(b1a2 + b2a1)

\(\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}=\frac{\left(a_1a_2+b_1b_2\right)+i\left(a_2b_1-a_1b_2\right)}{a_2^2+b_2^2}\)

Ifølge disse regnereglene danner de komplekse tallene en kropp. Enhver ligning av formen a0xn + a1xn–1 + ... + an = 0, hvor a0, a1, ..., an er komplekse tall, har løsninger innenfor mengden av de komplekse tall.

Vi er vant til å avbilde de reelle tallene som punkter på en linje, den reelle tallinjen. Komplekse tall kan avbildes geometrisk ved hjelp av det komplekse tallplan (også kalt det gaussiske tallplan etter J. C. F. Gauss), et rettvinklet koordinatsystem hvor den ene aksen (abscissen) er den reelle tallinjen, med enhet lik 1, og den andre aksen er den imaginære aksen, med enhet lik i. Man oppfatter da det komplekse tallet a + ib som et punkt med koordinatene (a, b).

Man kan også bruke polare koordinater, og det komplekse tallet oppfattes da som en vektor av lengde r med begynnelsespunkt i origo og endepunkt i (a, b) (se fig.). Størrelsen kalles absoluttverdien, modulen eller tallverdien til a + ib, og vi skriver \(r = |a+ib| =\sqrt{a^2+b^2}\). Vinkelen φ som vektoren danner med den reelle aksen, kalles amplituden til det komplekse tallet. Den er bestemt ved \(\tan{\phi}=\frac{b}{a}\). Summen av to komplekse tall kan fremstilles geometrisk ved vektoraddisjon (geometrisk addisjon), dvs. summen blir representert ved diagonalen i det parallellogrammet som blir dannet av de to aktuelle vektorene.

Ved hjelp av absoluttverdien av disse størrelsene kan vi skrive komplekse tall på trigonometrisk form: a + ib = r(cosφ + isinφ). Dersom man multipliserer de to komplekse tallene a+ ib = r(cosφ + i sinφ) og a1 + ib1 = r1(cosφ1 + isinφ1) på trigonometrisk form, finner man formelen (a + ib)(a1 + ib1) = rr1[cos(φ + φ1) + isin(φ + φ1)]. For flere like faktorer kommer man frem til de Moivres formel (etter A. de Moivre): (cosφ + isinφ)n = cos + isin.

Den eksponentielle formen for komplekse tall ble innført av L. Euler, og uttrykkes i identiteten a + ib = r(cosφ + isinφ) = r·e, der e er grunntallet i det naturlige logaritmesystemet.

Et komplekst tall a + ib sies å være helt hvis a og b er hele rasjonale tall. For de hele komplekse tall kan man utvikle en tallteori som nøye svarer til den vanlige teori for hele tall. Ethvert helt komplekst tall kan f.eks. skrives entydig som et produkt av primfaktorer. Tallteorien for komplekse tall skyldes C. F. Gauss. De hyperkomplekse tall er tallsystemer som man kan betrakte som generalisering av komplekse tall.

Komplekse tall forekommer først i G. Cardanos «Ars Magna» (1545), men Cardano forstod ikke begrepet fullt ut. Descartes benytter uttrykket imaginære røtter. Til dels bruker man ennå betegnelsen imaginære tall i samme betydning som komplekse tall. Symbolet skyldes L. Euler. Den geometriske fremstillingen av komplekse tall ble først innført av den dansk-norske landmåleren Caspar Wessel i en avhandling: «Om directionens analytiske betegnelse», fremlagt for Det Danske Videnskabernes Selskab 1797, trykt 1799. Wessels arbeid ble upåaktet, og noen år senere ble samme metode benyttet av J. R. Argand og Gauss. De komplekse tallene danner grunnlaget for den komplekse analyse (funksjonsteorien), som bl.a. beskjeftiger seg med differensial- og integralregning for funksjoner av en eller flere komplekse variable.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

12. juli 2014 skrev Lars Mæhlum

Symboler og formler ligger som bilder under teksten. Er det mulig å få disse på sin rette plass i teksten?

15. oktober 2015 svarte Andreas Tjernshaugen

Hei, det har tatt litt lang tid, men nå er vi i gang med å løse dette problemet. En teknisk omlegging førte til at mange artikler med formler ble slik som denne. I løpet av høsten skal alle formlene være lagt inn på nytt!

Har du spørsmål til artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.