En flate kan populært beskrives som begrensningen (overflaten) til et legeme, eller som en oppdeling av rommet i to deler. En klar matematisk definisjon som nøyaktig inkluderer de punktmengder man naturlig regner som flater, er vanskeligere å gi. Flater kan defineres på forskjellig vis, ofte med noe forskjellig betydning etter de forskjellige anvendelsesområder. I den analytiske geometri og differensialgeometrien defineres en flates koordinater ved ligninger

x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v),

Hvor x, y, z er funksjoner av to parametre u og v, og i alminnelighet antas å ha (partielle) deriverte av første og annen orden. Flatens ligning  kan bringes på formen z = f(x, y) eller implisitt F(x, y, z) = 0. Dersom z er en algebraisk funksjon av x og y (F er et polynom), er flaten algebraisk; ellers er den transcendent. Ligningen z = ax + by + c fremstiller et plan, mens \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) fremstiller en ellipsoide (se figur 1) med halvaksene a, b, c.

En flate kan også defineres eller tenkes fremkommet ved en kurves bevegelse i rommet. Kurven kalles da en generatrise, og hvis generatrisen er en rett linje, kalles flaten en linjeflate. Et spesialtilfelle er de utfoldelige (developable) flater, som kan foldes ut plant uten å strekkes, f.eks. en kjegleflate (se figur 2). En omdreiningsflate oppstår når generatrisen er en plan kurve som dreies om en akse i kurvens plan. Differensialgeometrien behandler flaters tangentplan, normal, krumningsegenskaper og spesielle kurvesystem på en flate, som de geodetiske kurver, mens topologien studerer de egenskaper ved flaten som forblir uforandret ved kontinuerlige (topologiske) avbildninger. Det er for eksempel en topologisk egenskap om en flate er ensidig eller tosidig. Vanligvis forutsettes det at en flate har to sider, men Möbius' bånd er et eksempel på en flate som ikke kan sies å ha mer enn en side. Et viktig topologisk problem er å bestemme om to flater ved kontinuerlige en-entydige transformasjoner kan overføres i hverandre; dette er f.eks. tilfellet med en kule og en ellipsoide, men ikke med en kule og en torus.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål til artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.