Figur 1 - Kvadratisk, fritt opplagt plate med sentrisk hull påkjent av jevnt fordelt last.

Kolbein Bell. fri

Figur 2 - Torsjonsmomentet i platen

Kolbein Bell. fri

Elementmetoden (Finite Element Method) er i dag en av de viktigste numeriske løsningsmetoder innen en rekke problemstillinger som matematisk lar seg beskrive av partielle differensialligninger eller integralligninger. Metoden, slik vi kjenner den i dag, ble utviklet av ingeniører innen styrkeberegninger, som en generalisering av beregningsmetoder for ramme-type konstruksjoner, såkalt matrisestatikk, til 2- og 3-dimensjonale problemer. Utviklingen av metoden, som er nøye knyttet til utviklingen av den digitale datamaskin, startet på 1950-tallet. Flyindustrien ledet an, men også bygningsstatikken kom tidlig med. Anvendelsene spredte seg til andre ingeniørdisipliner, og etterhvert fattet også matematikerne interesse for metoden. Tidlig på 1970-tallet fikk metoden et solid matematisk fundament.

Eksempel - Bøyning av plate påkjent av en jevnt fordelt last normalt platens plan.

Etter elastisk tynnplate teori beskrives dette problemet matematisk ev en 4. ordens partiell differensialligning. Analytisk løsning er bare mulig for meget enkle geometrier og randbetingelser. Selv et tilsynelatende enkelt problem, som en kvadratisk plate med et sentrisk hull, fritt opplagt langs alle rendene, og påkjent av en jevnt fordelt last, lar seg vanskelig løse analytisk.

Figur 1 viser et eksempel på løsning av problemet med en elementmetode. Platen deles inn i et antall, her trekantformede, elementer. Oppførselen (deformasjonen) av hvert enkelt element er entydig definert av et antall (kinematiske) frihetsgrader i elementets knutepunkter. Elementet som er benyttet i figur 1 har tre slike frihetsgrader definert i hvert av de tre hjørnepunktene/knutepunktene, nemlig knutepunktsverdien av selve nedbøyningsfunksjonen (w) og dens første deriverte ("helningene" w,x og w,y ) i to ortogonale retninger x og y. Det springende punkt ved metoden er antakelsen om at forskyvningen, dvs nedbøyningen w, inne i elementet kan uttrykkes entydig ved elementets frihetsgrader ved hjelp av et sett av antatte formfunksjoner, en for hver frihetsgrad. Disse formfunksjonene, som i de aller fleste tilfeller er polynomer, må selvsagt oppfylle en del betingelser for at de skal kunne interpolerer forskyvningen mellom knutepunktsverdiene på en tilfredsstillende måte (som vil garantere konvergens mot korrekt verdi nå elementnettet gjøres finere og finere).

Til de kinematiske frihetsgradene defineres et sett av samsvarende knutepunktskrefter, og ved hjelp av f.eks virtuelle forskyvningers prinsipp, etableres det en (stivhets-) relasjon mellom knutepunktskreftene og knutepunktsforskyvningene (frihetsgradene). Elementene settes sammen på en slik måte at både statisk likevekt og kinematisk kompatibilitet (sammenheng i knutepunktene og langs sidekantene, mellom naboelementer) er tilfredsstilt, og vi ender opp med et system av simultane, lineære ligninger som må løses med hensyn på problemets primære ukjente størrelser, dvs knutepunktsforskyvningene. Høyresiden i ligningssystemet består av den kjente ytre belastning, omgjort til statisk ekvivalente krefter i og langs frihetsgradene. Ligningssystemet, som har like mange ukjente som antallet knutepunktsforskyvninger (dvs 3 ganger antall knutepunkter i elementnettet), må løses slik at problemets randbetingelser er tilfredsstilt. Langs rendene vil noen av forskyvningene være gitt - i vårt problem f.eks, er selve nedbøyningen og "helningen" langs randen lik null i alle knutepunktene på rendene.

Til høyre i figur 1 er vist platen i deformert tilstand (sett nedenfra). Vi ser at elementene henger sammen, ikke bare i hjørnene (dvs. knutepunktene), men også langs sidekantene

Figur 2 viser fordelingen av torsjonsmomentet (Mxy) over platen. Til venstre i figuren er vist resultatet slik det fremkommer når en beregner verdien i de tre knutepunktene for hvert enkelt element, mens figuren til høyre viser resultatet etter at verdiene er midlet i hvert knutepunkt. Figur 2 er typisk for elementmetoden. Mens problemets primære ukjente størrelse, nemlig tverrforskyvningen (nedbøyningen) w er kontinuelig over elementgrensene (se figur 1), så er det normalt ikke tilfelle for avledede størrelser som f.eks Mxy. Torsjonsmomentet finnes nemlig ved å derivere w to ganger med hensyn på x og y. Og selv om w, og forsåvidt også dens første deriverte langs sidekanten er kontinuerlig mellom naboelementer, dvs. har samme verdi i begge elementene som har sidekanten felles, så vil i vårt problem ikke den første deriverte tvers på sidekanten, og slett ikke de andre deriverte, være kontinuerlige over sidekantene. Avledede størrelser beregnes altså med mindre nøyaktighet enn de primære ukjente (forskyvnings-størrelsene) Gapene mellom "elementene" til venstre i figur 2 vil bli gradvis mindre jo finere elementnett vi bruker.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.