Elementanalyse. Av Shutterstock. Begrenset gjenbruk

elementmetoden

Elementmetoden er en metode der kompliserte systemer deles inn i enkle elementer (deler) med kjente og forståtte egenskaper. Informasjon blir flyttet fra element til element og metoden simulerer egenskapene av et sammensatt system ut fra enkeltelementenes oppførsel. Metoden brukes mest innen ingeniørvitenskap (spesielt konstruksjonsteknikk) og vitenskap, men også innen økonomi.

Faktaboks

Etymologi: engelsk Finite Element Method

Elementmetoden er brukt i motsetning til infinitesimale metoder som er en matematisk fiksjon av uendelig små underdelinger som fører til infinitesimalregning med differensialligninger som innebærer uendelig mange elementer som fører til eksakte løsninger. Eksakte løsninger er sjelden mulig og vi bruker diskretiseringsmetoder (diskret betyr «tydelig adskilt»). Disse fører forhåpentlig nær til eksakte løsninger når antall av diskrete variabler øker.

Metoden, slik vi kjenner den i dag i ingeniørvitenskap, ble utviklet av ingeniører innen styrkeberegninger, som en generalisering av beregningsmetoder for ramme-type konstruksjoner, såkalt matrisestatikk, til to- og tredimensjonale problemer. Utviklingen av metoden, som er nært knyttet til utviklingen av den digitale datamaskinen, startet på 1950-tallet. Flyindustrien ledet an, men også bygningsstatikken kom tidlig med. Anvendelsene spredte seg til andre ingeniørdisipliner, og etterhvert fattet også matematikerne interesse for metoden. Tidlig på 1970-tallet fikk metoden et solid matematisk fundament.

Eksempel: Bøyning av en plate

Figur 1 - Kvadratisk, fritt opplagt plate med sentrisk hull påkjent av jevnt fordelt last.

Figur 1a: Elementnett

Av Kolbein Bell.

Lisens: fri

Figur 1 - Kvadratisk, fritt opplagt plate med sentrisk hull påkjent av jevnt fordelt last.

Figur 1b: Deformert plate

Av Kolbein Bell.

Lisens: fri

Figur 1 viser et eksempel på løsning av et problem ved hjelp av elementmetoden.

Etter elastisk tynnplate-teori beskrives dette problemet matematisk av en fjerde-ordens partiell differensialligning. Analytisk løsning er bare mulig for meget enkle geometrier og randbetingelser. Selv et tilsynelatende enkelt problem, som en kvadratisk plate med et sentrisk hull, fritt opplagt langs alle rendene, og påkjent av en jevnt fordelt last, lar seg vanskelig løse analytisk.

Platen deles her inn i et antall trekantformede elementer (Figur 1a). Oppførselen (deformasjonen) av hvert enkelt element er entydig definert av et antall kinematiske frihetsgrader i elementets knutepunkter.

Elementet som er benyttet i figur 1 har tre slike frihetsgrader definert i hvert av de tre hjørnepunktene/knutepunktene, nemlig knutepunktsverdien av selve nedbøyningsfunksjonen (w) og dens første deriverte («helningene» w_,x og w_,y) i to ortogonale retninger x og y.

Det springende punkt ved metoden er antakelsen om at forskyvningen, altså nedbøyningen w, inne i elementet kan uttrykkes entydig ved elementets frihetsgrader ved hjelp av et sett av antatte formfunksjoner – én for hver frihetsgrad. Disse formfunksjonene, som i de aller fleste tilfeller er polynomer, må oppfylle en del betingelser for at de skal kunne interpolere forskyvningen mellom knutepunktsverdiene på en tilfredsstillende måte (som vil garantere konvergens mot korrekt verdi når elementnettet gjøres finere og finere).

Til de kinematiske frihetsgradene defineres et sett av samsvarende knutepunktskrefter, og ved hjelp av for eksempel prinsippet om virtuelle forskyvninger etableres det en (stivhets-)relasjon mellom knutepunktskreftene og knutepunktsforskyvningene (frihetsgradene). Elementene settes sammen på en slik måte at både statisk likevekt og kinematisk kompatibilitet (sammenheng i knutepunktene og langs sidekantene, mellom naboelementer) er tilfredsstilt, og vi ender opp med et system av simultane, lineære ligninger som må løses med hensyn på problemets primære ukjente størrelser, det vil si knutepunktsforskyvningene. Høyresiden i ligningssystemet består av den kjente ytre belastning, omgjort til statisk ekvivalente krefter i og langs frihetsgradene.

Ligningssystemet, som har like mange ukjente som antallet knutepunktsforskyvninger (det vil si tre ganger antall knutepunkter i elementnettet), må løses slik at problemets randbetingelser er tilfredsstilt. Langs rendene vil noen av forskyvningene være gitt. I Figur 1 for eksempel, er selve nedbøyningen og «helningen» langs randen lik null i alle knutepunktene på rendene.

I Figur 1b er platen vist i deformert tilstand (sett nedenfra). Vi ser at elementene henger sammen, ikke bare i hjørnene (det vil si knutepunktene), men også langs sidekantene

Fordelingen av torsjonsmoment

Figur 2 - Torsjonsmomentet i platen

Figur 2b: «Rå-data»

Av Kolbein Bell.

Lisens: fri

Figur 2 - Torsjonsmomentet i platen

Figur 2b: Glattet

Av Kolbein Bell.

Lisens: fri

Figur 2 viser fordeling av et torsjonsmoment (M_xy) over platen. I Figur 2a vises resultatet slik det fremkommer når en beregner verdien i de tre knutepunktene for hvert enkelt element, mens Figur 2b viser resultatet etter at verdiene er midlet i hvert knutepunkt.

Figur 2 er typisk for elementmetoden. Mens problemets primære ukjente størrelse, nemlig tverrforskyvningen (nedbøyningen) w er kontinuelig over elementgrensene (Figur 1), så er det normalt ikke tilfelle for avledede størrelser som for eksempel M_xy.

Torsjonsmomentet finnes nemlig ved å derivere w to ganger med hensyn på x og y. Og selv om w, og forsåvidt også dens første deriverte langs sidekanten er kontinuerlig mellom naboelementer, det vil si har samme verdi i begge elementene som har sidekanten felles, så vil i vårt problem ikke den første deriverte tvers på sidekanten, og slett ikke de andre deriverte, være kontinuerlige over sidekantene. Avledede størrelser beregnes altså med mindre nøyaktighet enn de primære ukjente (forskyvnings-størrelsene).

Gapene mellom «elementene» i Figur 2a vil bli gradvis mindre jo finere elementnett vi bruker.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

Fagansvarlig for Konstruksjonsteknikk

Runald Walter Meyer

førstelektor produktutvikling, Høgskulen på Vestlandet