punkt - matematisk

Punkt er et grunnleggende matematisk begrep. Definisjonen varierer mellom ulike tradisjoner og mellom ulike matematiske områder.

Faktaboks

Etymologi
av latin ‘stikk’

Punkt i geometrien

Evklid definerte et punkt som «det som ikke kan deles», og i geometrien oppfattes punktet vanligvis som en minste del. Det vil si at alle andre geometriske objekter, som for eksempel linjer og flater, er sammensatt av punkter. Et punkt definert på denne måten har ingen utstrekning i noen retning, og kan dermed sies å være et geometrisk objekt med dimensjon 0.

Punkter definert ved tall

Punkter kan også defineres ved hjelp av tallbegrepet. Punktene på en rett linje svarer her til de reelle tallene, mens punktene i planet er punktpar (x, y), som i den analytiske geometrien. Denne definisjonen kan utvides til vilkårlige dimensjoner.

Moderne matematikk

En av de mest vidtrekkende ideer i moderne matematikk har vært å sette punktbegrepet i forbindelse med primtallbegrepet og generaliseringen av dette i form av primidealer (se ring) og valuasjoner. Dermed er store deler av geometri, funksjonsteori og analyse blitt brakt i forbindelse med moderne algebra. Dette samspillet har ført til vesentlige nye synspunkter innen områder som riemannske flater, algebraisk geometri og fourieranalyse.

I alle disse situasjonene blir et punkt identifisert med en mengde av funksjoner som er lik null i det gitte punktet, og denne mengden danner et primideal i en ring av funksjoner. Denne overgangen fra det geometriske begrep «punkt» til det algebraiske begrep «primideal» muliggjør en effektiv algebraisk behandling av mange problemer i geometri og analyse.

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg