skalarprodukt

Skalarprodukt er innen matematikk et tall man får som produktet av to vektorer. Det er lik lengden av de to vektorene ganget med hverandre, ganget med cosinus til vinkelen mellom dem.

Grunnen til at det heter skalarprodukt, er at størrelsen er en skalar, det vil si et tall. Den andre formen for produktet av to vektorer er vektorproduktet, og denne størrelsen er en vektor.

For to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) skrives lengdene som \(|\vec{a}|\) og \(|\vec{b}|\). Hvis vinkelen mellom dem er \(\alpha\), finnes skalarpoduktet ut fra følgende formel:

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha\)

Dersom vektorene er definert i et 2-dimensjonalt rettvinkla koordinatsystem, og skrives som \(\vec{a}=[x_1,y_1]\) og \(\vec{b}=[x_2,y_2]\), kan skalarproduktet skrives som

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)

Generelt oppfyller skalarproduktet disse kriteriene

• Det er symmetrisk, det vil si at \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}\).
• Det er bilineært, det vil si at \((\alpha\vec{a}+\beta\vec{b})\cdot\vec{c}=\alpha(\vec{a}\cdot\vec{c})+\beta(\vec{b}\cdot\vec{c})\), hvor \(\alpha\) og \(\beta\) er skalarer (tall), kombinert med symmetri, punkt 1.

Et skalarprodukt kalles også et indreprodukt. Det kan defineres mer generelt for alle slags vektorrom.