matriseregning

Matriseregning er regning med matriser. Matriser kan i mange sammenhenger regnes med på tilsvarende vis som tall og vektorer.

Produktet av et tall c og en matrise A er den matrisen som oppnås ved å multiplisere hvert av elementene i A med tallet c.

To matriser\[ A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}\]har summen

\[ A+B =\begin{bmatrix} a_{11} +b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{bmatrix} \]

Produktet av de to matrisene er \[ A\cdot B=\begin{bmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22}+a_{11}b_{12} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22}+a_{21}b_{12} \end{bmatrix}\]

Legg merke til at det bare er mulig å addere matriser med samme størrelse (samme antall rader og kolonner), og at to matriser bare kan multipliseres dersom antall kolonner i den første er lik antall rader i den andre.

Det er dessuten slik at matrisemultiplikasjon ikke følger den kommutative lov, slik alminnelig multiplikasjon med tall gjør. Det vil si at A·B generelt er forskjellig fra B·A.

En kvadratisk matrise med 1-tall langs hoveddiagonalen og 0-er på alle de andre plassene kalles en identitetsmatrise og betegnes\[ I=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \]

Identitetsmatrisen har den egenskapen at for alle matriser A der multiplikasjonen er definert, er I·A = A og A·I = A.

En av operasjonene som kan utføres på matriser er transposisjon. Når en matrise blir transponert, er resultatet en matrise med rader lik den opprinnelige matrisens kolonner og omvendt. Det vil si at for en matrise \[ A=\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \] blir den transponerte matrisen lik\[ A^T=\begin{bmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{bmatrix} \]

En matrise kan også inverteres; til en matrise \(A\) dannes da den inverse matrisen \(A^{-1}\) slik at\(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Regning med determinanter er en grunnleggende del av matriseregningen.

Matriseteorien ble grunnlagt av Sir William R. Hamilton og Arthur Cayley og har siden fått stor betydning i praktisk talt alle grener av matematikken og dens anvendelser, for eksempel statistikk, kvantemekanikk og lineær algebra. Spesielt leder begrepet lineær avbildning naturlig til matrisebegrepet, på den måten at produktet av to matriser vil svare til en suksessiv anvendelse av de to tilsvarende lineære avbildningene.