vektorregning

den del av matematikken som omhandler regning med vektorer; har mange forskjellige anvendelser, spesielt innen fysikk og teknikk. Vektorregning er egentlig et synonym for lineær algebra, men oppfattes ofte som den mer konkrete del av denne.

Vektorregningen har fire grunnleggende operasjoner: addisjon av to vektorer, multiplikasjon av en skalar (et tall) med en vektor, indre produkt av to vektorer, og vektorprodukt (kryssprodukt) av to vektorer (jfr. matriseregning). For definisjoner av de to førstnevnte operasjonene, se lineær algebra.

Det indre produktet av to vektorer er definert som skalaren (tallet) a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Det kan også defineres som tallet , hvor er lengdene av , og α er vinkelen mellom dem.

Vektorproduktet (kryssproduktet) er en vektor vinkelrett på både slik at vektorene danner et høyresystem (se høyrehåndsregelen). Lengden av vektorproduktet er lik arealet av det parallellogrammet som de to vektorene spenner ut.

Disse fire operasjonene oppfyller en rekke regneregler, f.eks. oppfyller vektorproduktet den distributive lov med hensyn på vektoraddisjon: Vektorproduktet oppfyller imidlertid ikke den kommutative lov, idet vi har .

Vektoren med lengde null, nullvektoren, skrives .

Til vektorregningen i vid forstand hører også vektoranalysen, som bl.a. omfatter differensial- og integralregning for vektorer og vektorfunksjoner. Spesielt er et vektorfelt et system av vektorer, slik at hvert punkt i rommet er tilordnet en bestemt vektor , hvor komponentene a_x, a_y, a_z alle er funksjoner av x, y og z. Eksempler fra fysikken er elektriske og magnetiske felter, hvor vektoren i et gitt punkt gir kraftens størrelse og retning i punktet. Skalaren kalles vektorfeltets divergens og måler kraftlinjenes tetthet i kraftfeltet. Rotasjonen (eller virvelen) i feltet måles ved vektoren Feltet sies å være rotasjonsfritt eller virvelfritt dersom vi overalt har . Et skalarfelt kan oppfattes som et spesialtilfelle av et vektorfelt, men også rett og slett som en funksjon som til hvert punkt i et visst område i rommet tilordner et reelt tall, dvs. som en vanlig reell funksjon av tre reelle variable. Variasjonen av trykk eller temperatur i en væske gir eksempler på skalarfelter. Fra et skalarfelt f(x,y,z) kan man avlede et vektorfelt grad f gitt ved Dette vektorfeltet kalles gradienten til f og angir i hvilken retning potensialfunksjonen f vokser mest.

Tensorregningen kan betraktes som en utvidelse av vektorregningen og spiller bl.a. en betydelig rolle i den generelle relativitetsteori.

Viktige forløpere for den moderne vektorregning er W. R. Hamiltons kvaternioner og H. G. Grassmanns Ausdehnungslehre, etterfulgt av primærarbeider av J. W. Gibbs (1839–1903) og O. Heaviside (1850–1925).