fouriertransformen

Fouriertransformen er en operator som benyttes i mange områder av matematikken, for eksempel signalbehandling og differensialligninger. Denne transformen er oppkalt etter franskmannen Joseph Fourier.

Definisjon

Fouriertransformen \(\hat f\) av en funksjon \(f\) med definisjonsmengde de reelle tallene og billedmengde de komplekse tallene, er definert ved \[\hat f(\lambda)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ix\lambda}\, dx\] Her er e Eulers konstant og i den imaginære enhet.

Det er tre naturlige funksjonsrom der fouriertransformen er veldefinert, nemlig

  1. rommet \(L^1\) av de integrerbare funksjoner (der absoluttverdien av funksjonen har et endelig integral over de reelle tallene)
  2. rommet \(L^2\) av de kvadratisk integrerbare funksjoner (der absoluttverdien kvadrert av funksjonen har et endelig integral over de reelle tallene)
  3. Schwartz-rommet \(\mathcal S\) av de funksjonene som sammen med alle sine deriverte avtar raskere mot uendelig enn den inverse til et vilkårlig polynom

Man kan også definere fouriertransformen for funksjoner av flere variable og for periodiske funksjoner.

Dersom man kjenner den fouriertransformerte \(\hat f\) til en funksjon \(f\), kan man finne igjen funksjonen ved hjelp av den inverse fouriertransformen\[f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\hat f(\lambda) e^{ix\lambda}\, d\lambda\]

Anvendelse

Fouriertransformen har en rekke nyttige egenskaper, for eksempel at funksjonen og dens fouriertransformerte har samme norm i \(L ^2\).

Av stor viktighet i kvantemekanikken er Heisenbergs usikkerhetsrelasjon, som er identisk med ulikheten\[\Big(\int_{-\infty}^\infty x^2 |f(x)|^2 \, dx\Big) \Big(\int_{-\infty}^\infty \lambda^2 |\hat f(\lambda)|^2 \, d\lambda\Big)\ge \frac14 \Big(\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx\Big)^2\]

Innen digitalteknikk har også fouriertransformen viktige anvendelser, se for eksempel FFT (Fast Fourier Transform).

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg