mengdelære

Ofte oppgir man ikke elementene i en mengde direkte, men bruker i stedet en såkalt mengdebygger {… | …}. Innenfor mengdeparentesen innfører man da en variabel størrelse, for eksempel \(x\), og bak den loddrette streken | følger en forklaring på hva den variable størrelsen står for.

Ved hjelp av mengdebyggeren og symbolet \(\mathbb{N}\) for mengden av de naturlige tall kan mengden \(A = \{3,4,5,6\}\) skrives slik: \(A = \{x | x \in \mathbb{N},\, 2 < x < 7\}\) og leses: «\(A\) er mengden av alle \(x\) slik at \(x\) tilhører de naturlige tall og \(x\) er større enn 2 og mindre enn 7», det vil si at \(A\) er mengden av alle naturlige tall fra 3 til 6.

En endelig mengdes kardinaltall eller mektighet er lik antallet elementer i mengden.

Uendelige mengder er for eksempel mengden av alle naturlige tall (\(\mathbb{N}\)) eller mengden av alle reelle tall (\(\mathbb{R}\)). Uendelige mengder deles i tellbare og ikke tellbare mengder. Mengden av naturlige tall er tellbar; uformelt kan man si at en uendelig mengde er tellbar dersom den har «like mange» elementer som mengden av de naturlige tallene. Mengden av de reelle tallene er en ikke tellbar mengde.

Kardinaltallene til uendelige mengder skrives ved hjelp av den hebraiske bokstaven alef, som har symbol \(\aleph \). Tellbare mengder, som de naturlige tallene, har kardinaltall \(\aleph _0 \), mens mengden av de reelle tallene har kardinaltall \(\aleph _1 \)

En mengde \(A\) er delmengde av en mengde \(B\) hvis alle elementene i \(A\) også er elementer i \(B\). Dette kan uttrykkes matematisk ved \(A\subseteq B\). Her står symbolet \(\subseteq\) (inklusjonstegnet) for er delmengde av eller lik (er inkludert i).

Skriver man \(A\subset B\), utelukkes \(A=B\), og \(A\) kalles da en ekte delmengde av \(B\). Eksempel: \(A = \{3,4,5,6\}\) og \(B = \{3,4,5,6,7,8\}\). Her er \(A\) en ekte delmengde av \(B\), det vil si at \(A\subset B\).

Ofte illustrerer man mengder ved hjelp av lukkede kurver som kalles Venn-diagrammer. Hver lukkede kurve omslutter alle elementene i en mengde. Alle illustrasjonene til denne artikkelen er Venn-diagrammer.

Snittet av to mengder \(A\) og \(B\) er mengden av alle elementer som hører både til \(A\) og til \(B\). Denne mengden kalles også fellesmengden eller snittmengden av \(A\) og \(B\).

Ved hjelp av symbolet for snitt, \(\cap\), kan snittet av \(A\) og \(B\) matematisk uttrykkes slik: \(A \cap B = \{x | x\in A \text{ og } x\in B\}\); som leses: «\(A\) snitt \(B\) er mengden av alle \(x\) som er element i \(A\) og også element i \(B\).»

Eksempel: \(A = \{3,4,5,6\}\) og \(B = \{4,6,8,10\}\). Her er \(A \cap B = \{4,6\}\).

Unionen mellom to mengder \(A\) og \(B\) er mengden av alle elementer som tilhører minst én av mengdene \(A\) og \(B\). Ved hjelp av symbolet for union, \(\cup\), kan dette skrives: \(A \cup B = \{x | x\in A \text{ eller } x\in B\}\); som leses: «\(A\) union \(B\) er unionen av \(A\) og \(B\)», eller «\(A\) union \(B\) er mengden av alle \(x\) som er element enten i \(A\) eller i \(B\) eller i begge».

Eksempel: \(A = \{3,4,5,6\}\) og \(B = \{2,4,6,8\}\). Her er \(A \cup B = \{2,3,4,5,6,8\}\).

Differensmengden mellom to mengder \(A\) og \(B\) er mengden av alle elementer som hører til \(A\), men ikke til \(B\). Ved hjelp av symbolet for mengdedifferens, \(\setminus\) (uttales «minus»), kan differensmengden uttrykkes slik: \(A\setminus B = \{x | x\in A \text{ og } x\notin B\}\); som leses: «Differensmengden mellom \(A\) og \(B\) er mengden av alle \(x\) slik at \(x\) er element i \(A\) og \(x\) ikke er element i \(B\)».

Eksempel: \(A = \{1,3,4,5,7,9\}\) og \(B = \{2,3,4,5\}\) gir differensmengden \(A\setminus B = \{1,7,9\}\).

I mange tilfeller har vi en forhåndsdefinert grunnmengde eller et univers, som alle mengdene vi betrakter er delmengder av. Dersom grunnmengden for eksempel er mengden av alle naturlige tall (\(\mathbb{N}\)), trenger man ikke å spesifisere for hver mengde at \(x\in \mathbb{N}\) .

Komplementmengden til en delmengde \(A\) som tilhører grunnmengden \(G\) er mengden av alle elementer i \(G\) som ikke hører til \(A\). Komplementmengden til \(A\) skrives \(\overline{A}\).

Eksempel: I \(\mathbb{N}\) er mengden av alle partall komplementmengden til mengden av alle oddetall.

Produktmengden av \(A\) og \(B\), \(A \times B\) (leses «\(A\) kryss \(B\)») er mengden av alle ordnede par \((x,y)\) slik at \(x\) hører til \(A\) og \(y\) hører til \(B\). Matematisk kan dette skrives: \(A \times B = \{(x,y) | x\in A \text{ og } y \in B\}\).

Eksempel: \(A = \{2,3\}\) og \(B = \{4,5,6\}\) gir \(A \times B = \{(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}\).

Den tomme mengde er en mengde uten elementer. Symbolet er \(\emptyset\) (leses «den tomme mengde», ikke «ø»); den kan også skrives som \(\{\,\,\}\). Den tomme mengden er snittmengden for to mengder som ikke har noen felles elementer.

Eksempel: \(\{5,10,15,20\} \cap \{4,8,12,16\} = \emptyset\). Merk at \(\{ 0 \}\) ikke er en tom mengde, men en mengde med ett element, nemlig null.

Den tomme mengde er delmengde av alle mengder.