funksjonsteori (matematikk)

Funksjonsteori er teorien om matematiske funksjoner.

Funksjoner beskriver den parvise tilordningen mellom variabler og tilhørende funksjonsverdier, for eksempel hastigheten til et legeme i bevegelse oppnådd på et variabelt tidspunkt.

Innføringen av funksjonsbegrepet fant i hovedsak sted på 1600-tallet, i arbeidene til Descartes, Newton og Leibniz. I bakgrunnen var den vitenskapelige revolusjonen i fysikk, som krevde matematisk formulering av naturlover.

Selv om begrepet funksjon også kan forstås ganske generelt i betydningen entydig avbildning av elementer i et gitt sett (mengde) med verdier (bilder) i et annet sett, begrenser man vanligvis begrepet funksjonsteori til to matematiske områder. Disse er teorien om funksjoner av en eller flere komplekse variabler (kompleks funksjonsteori) på den ene siden og teorien om funksjoner av en eller flere reelle variabler (reell funksjonsteori) på den andre. I hver av disse undersøkes egenskaper ved funksjonene som analytisitet, integrerbarhet, kontinuitet, inverterbar entydighet, som er relevante i løsningen av visse oppgaver, f.eks. differensial- og integralligninger.

Det matematiske grunnlaget for den komplekse funksjonsteorie ble i hovedsak lagt av de tyske matematikerne Weierstrass og Riemann på 1800-tallet. Den reelle funksjonsteorie ble i hovedsak grunnlagt av italienske og franske matematikere (Ulisse Dini, René Baire, Lebesgue) rundt 1900 ved hjelp av Cantors den gang nye og revolusjonerende mengdelære. Mer generelle og abstrakte matematiske funksjoner behandles i teorier som funksjonalanalyse.