harmonisk funksjon

Dersom \(n=1\), må \(F(x)=ax+b\), der \(a\) og \(b\) er konstanter, siden den andrederiverte til \(F\) er lik null, det vil si \(F''(x)=0\).

Dersom \(n=2\), er eksempler på harmoniske funksjoner \[F(x_1,x_2)=x_1^2-x_2^2, \] \[F(x_1,x_2)=e^{x_1}\sin(x_2).\] For \(n=2\) er det en direkte forbindelse til kompleks funksjonsteori. Både real- og imaginærdelen av en holomorf funksjon gir en harmonisk funksjon. Omvendt vil en harmonisk funksjon lokalt være lik realdelen til en holomorf funksjon.

For vilkårlig \(n\) er funksjonen \[F(x_1,x_2,\dots,x_n)=r^{-1}\] harmonisk for \(r\neq 0\) der \(r=(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{1/2}\) betegner avstanden fra punktet \(x_1,x_2,\dots,x_n)\) til origo.

Harmoniske funksjoner har mange overraskende egenskaper.

1. Dersom en harmonisk funksjon \(F\) definert for alle vektorer \(x_1,x_2,\dots,x_n)\) i \(\mathbb{R}^n\) er begrenset, så er den konstant. Funksjonen \(F\) er begrenset om det fins et tall \(C\) slik at \(|F(x_1,x_2,\dots,x_n)|\le C\) for alle verdier av \(x_1,x_2,\dots,x_n)\). Dette er Liouvilles teorem.

2. Verdien av harmonisk funksjon i ett punkt er lik middelverdien av funksjonverdiene på et kuleskall rundt punktet med vilkårlig radius. Samme utsagn er også riktig om man erstatter kuleskallet med den tilhørende kulen.

3. Anta at en harmonisk funksjon er definert på et kompakt område i \(\mathbb{R}^n\), det vil si et begrenset område med rand. Da vil den harmoniske funksjonens maksimum og minimum befinne seg på randen av området.

Harmoniske funksjoner er av stor betydning i funksjonsteori og i den matematiske fysikk.

• Pierre Simon Laplace
• differensialligning