Laplace-transformasjon

Laplace-transformasjon er en integraltransformasjon som brukes mye i matematikk og ingeniørfag, blant annet til å løse differensialligninger. Transformasjonen har navn etter Pierre Simon Laplace, men ble før ham brukt av Leonhard Euler. Laplace-transformasjonen til en funksjon \(f\) er gitt ved \[F(s)={\mathcal L}(f)(s)=\int_0^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt.\]

Den Laplace-transformerte til den deriverte av \(f\) er gitt ved \(sF(s)-f(0)\), dvs \({\mathcal L}(f')(s)=sF(s)-f(0)\), og tilsvarende formler finnes for høyere ordens deriverte. Ved hjelp av disse formlene kan man omforme differensialligninger til algebraiske ligninger som er lettere å løse. Ved å bruke Laplace-transformasjonen baklengs kan man så finne løsningene til de opprinnelige differensialligningene. Under passende betingelser kan den inverse (baklengse) Laplace-transformasjonen skrives \[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(c+ix)e^{(c+ix)t}\, dx\] for alle tilstrekkelig store, reelle tall \(c\). Laplace-transformasjonen har også en del teoretiske anvendelser.