Elliptisk funksjon er en matematisk funksjon som er dobbeltperiodisk og meromorf.

En funksjon \(f\) er periodisk hvis det fins et tall \(a\)slik at \(f(x+a)=f(x)\) for alle \(x\). Tallet \(a\) kalles perioden. Funksjonen er dobbeltperiodisk hvis den har to perioder, det vil si at \[f(z+\omega_1)=f(z), \quad f(z+\omega_2)=f(z)\] for alle komplekse tall \(z\). Her skal forholdet mellom de to periodene \(\omega_1, \omega_2\) ikke være et reelt tall.

De elliptiske funksjonene er generaliseringer av de trigonometriske funksjonene, og de har mange viktige anvendelser, både innen matematikken og i ulike anvendelser. I mekanikken fører for eksempel et så enkelt problem som pendelsvingninger til elliptiske funksjoner.

Eksempel

En av de viktigste elliptiske funksjonene er Weierstrass' \(\mathcal P\)-funksjon, som er definert ved \[\mathcal P(z)=\frac1{z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda}\big(\frac1{(z-\lambda)^2}-\frac1{\lambda^2} \big)\] der \[\Lambda=\{n\omega_1+m\omega_2\mid n, m\in \mathbb Z\}\setminus \{0\}\] kalles latticen til funksjonen.

Egenskaper

Elliptiske funksjoner har mange interessante egenskaper. De er entydig bestemt ved sine verdier på fundamentalområdet \[\{\alpha\omega_1+\beta\omega_2\in\mathbb C\mid \alpha,\beta\in [0,1]\}.\] Hvis en elliptisk funksjon er analytisk, må den være konstant. En elliptisk funksjon kan bare ha et endelig antall singulariteter i fundamentalområdet. For Weierstrass' \(\mathcal P\)-funksjon er singularitetene i \(\Lambda\) og \(0\).

Historikk

Opprinnelig kom man til elliptiske funksjoner ved å studere de omvendte funksjonene av elliptiske integraler. Det var Niels Henrik Abel og Carl Gustav Jacob Jacobi som på den måten fant frem til de mange merkelige og interessante egenskaper de elliptiske funksjonene har.

Det er nå mest vanlig å følge en fremstillingsmåte av Karl Weierstrass i teorien for elliptiske funksjoner.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg