Matematikeren Pierre de Fermats siste sats er et av verdens mest berømte matematiske teoremer. Det ble fremsatt i 1637 og etter 358 år endelig bevist av Andrew J. Wiles i 1995.

Problemet sier at det ikke finnes positive heltalls-løsninger for ligningen an + bn = cn når n er større enn 2. 

For n = 2 har ligningen mange løsninger, f.eks. er 32 + 42 = 52.

Fermat fremsetter satsen i margen på sin Diofantutgave og legger til at han ser et vidunderlig bevis, men margen er for liten til å skrive det ned. I betraktning av de ualminnelige vanskeligheter forbundet med løsningen av dette problemet, som en rekke av de mest fremtredende matematikere har prøvd seg på, er det vel tvilsomt om Fermat har hatt et gyldig bevis. Dette synspunktet blir støttet ved den kjensgjerning at Fermat også ved andre anledninger har fremsatt uriktige formodninger.

Fermat beviste satsen for n = 4. Man kan lett vise at det bare er nødvendig å bevise satsen for det tilfelle at n er et primtall. For n = 3 ble Fermats sats bevist av Euler, for n = 5 av Legendre og Lejeune-Dirichlet, og for n = 7 av Lamé.

Det første gjennombrudd for moderne metoder kom i 1847. Den tyske matematiker Kummer hadde utviklet den såkalte idealteori, og innså at denne teorien også kunne ha betydning for Fermats siste teorem. Han fant et kriterium som kunne benyttes for å avgjøre om satsen gjelder for visse verdier av eksponenten n. I årene etter 1847 fant man en rekke nye slike kriterier som viste at satsen var riktig for svært mange eksponenter. Ved hjelp av datamaskiner greide man i 1976 å vise at Fermats sats gjelder for alle eksponenter n ≤ 125 000. Det var likevel ingen grunn til å tro at man var kommet nærmere en generell løsning.

Den avgjørende utviklingen mot problemets løsning startet i 1985 da G. Frey foreslo at Fermats siste teorem burde følge fra en velkjent formodning om elliptiske kurver (dvs. kurver som kan beskrives ved elliptiske funksjoner). Denne formodningen, som i litteraturen gikk under navnet Taniyama-Shimura-formodningen, var riktignok heller ikke bevist, men Fermat-problemet hadde nå fått en helt ny angrepsvinkel, ved at metoder fra algebraisk geometri kunne tas i bruk. Forbindelsen mellom Fermats siste teorem og elliptiske kurver oppstår ved at man antar at det finnes et moteksempel mot teoremet, dvs. at det finnes hele tall a, b og c slik at abc ≠ 0 og an + bn = cn der n er et primtall ≥ 5. Ligningen Y2 = X(X + an)(X − bn) beskriver da en såkalt Frey-kurve. Dette er elliptiske kurver av en spesiell type, som gjerne kalles semi-stabile.

Den endelige løsning på problemet kom gjennom to faser. Først greide K. Ribet, ved å benytte resultater bl.a. av Serre, i 1986 å vise at Freys idé var korrekt. I praksis betød dette nå at problemet var redusert til å vise at Frey-kurver ikke kunne eksistere, slik at antagelsen ovenfor leder til en motsigelse. I 1995 greide endelig briten Andrew Wiles ved Princeton-universitetet i USA å bevise at Taniyama-Shimura-formodningen var riktig for semi-stabile elliptiske kurver. Fermats siste teorem var dermed bevist, nokså nøyaktig 350 år etter at Fermat formulerte det. Et viktig ledd i Wiles' bevis bestod i å begrense størrelsen på den såkalte Selmer-gruppen, som har sitt navn etter den norske matematiker Ernst S. Selmer.

Fermat-problemet er et eksempel på et teorem som ikke er så viktig i seg selv, men hvor metodene som ble utviklet for å løse det har hatt overordentlig stor betydning. Wiles uttrykte det slik : «Jeg tror han [Fermat] ville ha blitt forbauset over alt det hans bemerkning i margen har gjort for matematikkens historie.»

  • Singh, Simon: Fermats siste sats : historien om gåten som forfulgte verdens skarpeste hjerner i 358 år, 1998, isbn 82-03-20304-3, Finn boken

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål til artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.