Primtall er hele tall som er større enn eller lik 2, og som som bare kan deles på 1 og tallet selv. Det vil si at de eneste faktorene i tallet er 1 og tallet selv.

Faktaboks

Etymologi

til primus

De ti første primtallene er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 og 29. Alle primtall unntatt 2 er oddetall (ulike tall). Det finnes uendelig mange primtall.

Ethvert helt tall som er større enn 1 kan skrives entydig som et produkt av primtall. Disse primtallene kalles tallets primfaktorer. Både dette resultatet, og beviset for at det finnes uendelig mange primtall, finner man allerede i Euklids lærebok Elementa.

Store primtall

Det største kjente primtallet (per mars 2024) er \(2^{82589933} – 1\), et tall med 24 862 048 siffer. Som de fleste store, kjente primtall er dette et Mersenne-primtall.

Det er svært tidkrevende å avgjøre om store tall er primtall. Det brukes derfor tusenvis av datamaskiner som er koblet til Internett, og som hver utfører en liten del av de nødvendige beregningene.

Fordeling av primtall i tallrekken

Det finnes vilkårlig lange intervaller i tallrekken hvor det ikke finnes primtall, og generelt kan man si at primtallene blir sjeldnere jo lenger opp i tallrekken man går. Men det forekommer også såkalte primtalltvillinger, hvor både p og p + 2 er primtall (for eksempel 29 og 31). Det er fortsatt ukjent om det finnes uendelig mange slike primtalltvillinger.

Antall primtall som er mindre eller lik et tall x betegnes med \(\pi(x)\). For eksempel finnes det 25 primtall som er mindre enn 100, og dette kan skrives \(\pi(100) = 25\). Selv om fordelingen av primtall er svært ujevn innen kortere intervaller, viser likevel \(\pi(x)\) en regelmessig vekst for store verdier av x.

I 1896 klarte Jacques Salomon Hadamard og den franske matematikeren Charles Jean de la Vallée-Poussin å vise at \(\pi(x)\) for store verdier av x vokser på samme måte som funksjonen \(\begin{equation} f(x) = \frac{x}{\ln x}\end{equation}\) i den forstand at forholdet \(\frac{\pi(x)}{f(x)}\) nærmer seg 1 som grense når x går mot uendelig. Denne såkalte primtallsatsen ble først bevist ved å anvende kompleks funksjonsteori.

Et bevis uten bruk av funksjonsteori ble først gitt av nordmannen Atle Selberg i 1948. Det er senere funnet bedre estimater for funksjonen \(\pi(x)\).

Uløste problemer

Det er fremdeles ukjent om alle tilstrekkelig store partall kan skrives som en sum av to primtall (Goldbachs formodning, etter Christian Goldbach).

Blant de mange uløste problemene om primtall er også spørsmålet om det finnes uendelig mange primtall av formen \(n^2 + 1\) der n er et helt tall. Mange av disse uløste problemene står i forbindelse med Riemanns hypotese.

Primtallteori er et område hvor de to norske matematikerne Viggo Brun og Atle Selberg har levert banebrytende arbeider.

Les mer i Store norske leksikon

Eksterne lenker

Kommentarer

Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg