primtall

Primtall er hele tall større enn eller lik 2 som bare er delelige med 1 og tallet selv. De ti første primtallene er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 og 29. Alle primtall unntatt 2 er oddetall (ulike tall).

Ethvert helt tall ≥ 2 kan skrives entydig som et produkt av primtall, som da kalles tallets primfaktorer. Dette resultatet, sammen med beviset for at det finnes uendelig mange primtall, finner man allerede i Evklids Elementa.

I mai 2017 er det største kjente primtallet 2^{74 207 281}–1, et tall med 22 338 618 siffer. Som de fleste store, kjente primtall er dette et Mersenne-primtall (etter Marin Mersenne). Det er uhyre tidkrevende å avgjøre om store tall er primtall, og i våre dager bruker man tusenvis av datamaskiner som er koblet til Internett, og som hver utfører en liten del av de nødvendige beregningene.

Det finnes vilkårlig lange intervaller i tallrekken hvor det ikke finnes primtall, og generelt kan man si at primtallene blir sjeldnere jo lenger opp i tallrekken man går. Men det forekommer også såkalte primtalltvillinger, hvor både p og p+ 2 er primtall (for eksempel 29 og 31), og det er fortsatt ukjent hvorvidt det finnes uendelig mange slike primtalltvillinger.

Antall primtall mindre eller lik et tall x betegnes med π(x), f.eks. er π(100) = 25. Selv om fordelingen av primtall er svært ujevn innen kortere intervaller, viser likevel π(x) en regelmessig vekst for store verdier av x.

I 1896 lyktes det Jacques Hadamard og den franske matematikeren Charles Jean de la Vallée-Poussin å vise at π(x) for store verdier av x vokser på samme måte som funksjonen \(\begin{equation} f(x)=\frac{x}{\ln x}\end{equation}\) i den forstand at forholdet \(\frac{\pi(x)}{f(x)}\) nærmer seg 1 som grense når x går mot uendelig. Denne såkalte primtallsatsen ble først bevist ved å anvende kompleks funksjonsteori. Et bevis uten bruk av funksjonsteori ble først gitt av nordmannen Atle Selberg i 1948. Det er senere funnet bedre estimater for funksjonen π(x).

Det er fremdeles ukjent om alle tilstrekkelig store partall kan skrives som en sum av to primtall (Goldbachs formodning, etter Christian Goldbach). Blant de mange uløste problemer om primtall er også spørsmålet om det finnes uendelig mange primtall av formen n² + 1 (der n er et helt tall). Mange av disse uløste problemene står i forbindelse med den såkalte Riemanns hypotese.

Primtallteori er et område hvor de to norske matematikerne Viggo Brun og Atle Selberg har levert banebrytende arbeider.

• De største kjente primtall (University of Tennessee at Martin)
• Informasjon om primtallsforskning og -leting (University of Tennessee at Martin)