For flater er en konform avbildning (vinkeltro avbildning) en avbildning (transformasjon) av en flate på en annen flate slik at vinkelen mellom to tilsvarende kurver bevares. Ved en avbildning av et plan på et annet, slik at punktet \((x, y)\) i det ene plan svarer til punktet \((u, v)\) i det andre, finner man at betingelsen for en konform avbildning er at de partielle deriverte må oppfylle følgende ligninger:

  1. \(\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}\)
  2. \(\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \)
Disse partielle differensialligningene er de såkalte Cauchy-Riemannske ligningene , som også er betingelsen for at en funksjon av en kompleks variabel \(f(z) = f(x + iy) = u + iv = w\) skal være en analytisk funksjon . Avbildningen av et komplekst plan på et annet ved en analytisk funksjon \(w = f(z)\) definerer altså en konform avbildning.

Konforme avbildninger ble først innført og studert i forbindelse med kartprojeksjoner. Betegnelsen konform avbildning skyldes J. C. F. Gauss, som utviklet den matematiske teorien for slike projeksjoner.

For andre geometrier hvor vi har en metrikk \( ds^2\), så er en konform avbildning en avbildning som bevarer vinkler og dermed må den transformerte metrikken være på formen \( \phi^2ds^2\). Generelt vil en transformasjon som skalerer indreproduktet bevare vinkler.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål til artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.