kompleks funksjon

Mange funksjoner som opprinnelig er definert for reelle tall, kan naturlig utvides til å inkludere komplekse tall. Et eksempel er polynomer. Her gir uttrykket \(P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_n x^n\) også mening hvis \(x\) er et komplekst tall.

Også de trigonometriske funksjonene og eksponentialfunksjonen kan utvides på en naturlig måte til å gjelde for vilkårlige komplekse tall. Den beste måten er å benytte potensrekker. Vi har \[\sin x= \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \] \[\cos x= \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},\]\[ e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}, \] som også er veldefinerte for vilkårlige komplekse tall.

En funksjon \(f:{\mathbb C}\to {\mathbb C}\) kan skrives på følgende måte: Om \(z\in {\mathbb C}\) er et komplekst tall med realdel \(x\) og imaginærdel \(y\), det vil si at \(z=x+i y\), kan funksjonen skrives slik: \[f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\] Her er \(u\) og \(v\) funksjoner av to reelle variabler \((x,y)\) som tar reelle verdier, det vil si at verdimengden for dem er de reelle tallene.

De formelle definisjonene av kontinuitet og deriverbarhet er de samme som for reelle funksjoner. Dersom en kompleks funksjon er deriverbar for alle komplekse tall, eksisterer også alle de høyere deriverte, altså andrederiverte, tredjederiverte og så videre. Slike funksjoner kalles holomorfe eller analytiske. Denne egenskapen gjelder ikke for funksjoner av reelle variable.

Komplekse funksjoner har mange andre egenskaper som skiller dem fra reelle funksjoner. Et eksempel er Liouvilles teorem, som sier at hvis en kompleks funksjon som er deriverbar for alle komplekse tall er begrenset, det vil si at det fins at tall \(D>0\) slik at \(|f(z)|\le D\) for alle komplekse tall \(z\), så er \(f\) konstant, det vil si at det fins et tall \(C\) slik at \(f(z)=C\) for alle \(z\).

Funksjonsteorien for komplekse funksjoner ble i hovedsak utviklet av Leonhard Euler, Bernhard Riemann, Augustin-Louis Cauchy og Karl Weierstrass.

• funksjon – matematikk
• komplekse tall