egenfunksjon

Anta at man har en lineær operator \(A\) med definisjonsområde \(M\) og rekkevidde \(N\) som skrives \(A\colon M\to N\). Dersom det fins et element \(f\) i \(M\) slik at \(A(f)=\lambda f\), der \(\lambda\) er et tall, sies \(f\) å være en egenfunksjon, og \(\lambda\) er den tilhørende egenverdien. Det er et krav at \(f\neq 0\), siden det for lineære operatorer alltid gjelder at \(A(0)=0=\lambda 0\) for alle \(\lambda\).

Anta at \(M\) og \(N\) er mengden av alle deriverbare funksjoner \(f\colon {\mathbb R}\to {\mathbb R}\) og at \(A(f)= f'\). Da vil funksjonen \(f(x)=e^{2x}\) være en egenfunksjon med egenverdi \(\lambda =2\) siden \(A(e^{2x})=2 e^{2x}\). Legg merke til at \(ae^{2x}\) også vil være en egenfunksjon med den samme egenverdien for alle verdier av \(a\neq 0\).

La oss se på løsninger av en homogen lineær differensialligning. En slik ligning med gitte randbetingelser har i alminnelighet ikke noen løsning. Men ved visse verdier av en parameter i ligningen, såkalte egenverdier, har ligningen en løsning – disse løsningene kalles egenfunksjoner.

Et eksempel er det såkalte Sturm–Liouville-problemet, som består i å bestemme løsningene \(y\) til ligningen \((py')'+qy=ky\), der den ukjente funksjon \(y\) også skal oppfylle visse randkrav, og \(p\) og \(q\) er gitte funksjoner, mens \(k\) er en parameter som er egenverdien. Her er operatoren gitt ved \(A(y)=(py')'+qy\), og ligningen for egenfunksjonen og egenverdien er \(A(y)=ky\).

I fysikken anvendes egenfunksjoner særlig ved beskrivelse av svingninger og bølgebevegelse. For eksempel oppstår i en orgelpipe av bestemt lengde bare svingninger med bestemte frekvenser, egenfrekvensene. Frekvensene er egenverdier, og de tilsvarende stående bølgene er egenfunksjoner.

I kvantefysikken blir de stabile tilstandene i atomene beskrevet ved egenfunksjoner for elektronbølgene med bestemte energier som egenverdier. Tilstandene kalles derfor energi-egentilstander og funksjonene energi-egenfunksjoner. I prinsippet kan disse beregnes, men beregningene er ofte meget kompliserte. Det kommer blant annet av at bølgenes hastighet avhenger av deres energi, slik at den enkle svingeteori som vi kjenner fra orgelpiper, ikke kan anvendes.

• funksjon
• egenverdi