Bølgepakke

De grunnleggende idéene om bølgepakker ble utviklet på midten av 1800-tallet, gjennom arbeider av matematikeren William Rowan Hamilton og fysikeren John William Strutt Rayleigh. På grunn av superposisjonsprinsippet kan en bølgepakke konstrueres som en sum av enkeltbølger hvor hver enkelt bølge har en veldefinert frekvens og er en løsning av bølgeligningen for det mediet bølgen beveger seg i. Hastigheten til enkeltbølgene kalles fasehastigheten, mens hastigheten til bølgepakken kalles gruppehastigheten.

Spredningen av frekvensene til bølgene i bølgepakken bestemmer den ytre utstrekningen av bølgen. Dette kan enklest forstås ved å bruker Fourier-transformasjoner hvor tid og frekvens (og posisjon og bølgelengde) er komplementære variabler. Det vil si at dersom frekvensene er spredt over et stort område, så må spredningen i tid (og derigjennom spredningen i rommet) for bølgen være liten.

Dersom vi har en bølgeligning

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \nabla^2 u, \]

hvor \(v\) er hastigheten til bølgen, så har denne planbølgeløsningene

\[ u(x,t)=e^{i(kx-\omega t)}, \]

hvor forholdet mellom vinkelfrekvensen \(\omega\) og bølgetallet \(k\) er \( \omega = k v\). Vinkelfrekvensen og bølgetallet forholder seg til den ordinære frekvensen \(f\) og bølgelengden λ til bølgen gjennom \( \omega =2\pi f\) og \(k=2\pi/\lambda \). Disse planbølgeløsningene kan settes sammen til en bølgepakke \(U(x,t)\) ved hjelp av integralet

\[ U(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} A(k) e^{i(kx-\omega t)} dk, \]

hvor \( A(k)\) er en amplitude som vekter de forskjellige planbølgene i summen. Som vi ser bruker vi uendelig mange frekvenser \(\omega\) fordi vi har et integral over bølgetall. Dette er nødvendig for å få en strengt lokalisert bølgepakke.

• bølger
• gruppehastighet
• fasehastighet