geometrisk rekke

Geometrisk rekke er et matematisk rekke på formen \(a_1 + a_2 + a_3 + \dotsc + a_n + \dotsc\) hvor \(a_1 + a_2 + a_3 + \dots\) er tall, og der forholdet mellom hvert tall og det foregående er konstant; det vil si \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = k\) for alle \(n\). Forholdstallet \(k\) kalles kvotienten til den geometriske rekken. Hvert tall kalles et ledd i rekken. En geometrisk rekke kan ha et endelig eller uendelig antall ledd.

Eksempler:

\[2 + 4 + 8 + \dotsc + 2^n + \dotsc\]

og

\[\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dotsc + \frac{1}{3^n} + \dotsc\]

er geometriske rekker med kvotient henholdsvis \(k=2\) og \(k=\frac 13\) .

Hvis det første leddet i en geometrisk rekke er \(a_1\) og kvotienten er \(k\), blir det n'te leddet lik \(a_n=a_1k^{n-1}\), og summen av rekkens \(n\) første ledd blir \(s_n = a_1\frac{k^n-1}{k-1}\). Her er forutsatt \(k\neq 1\). For \(k=1\) er \(s_n=na_1\).

Dersom rekken har uendelig mange ledd, vil følgen \(\{s_n\}\) (se følge) nærme seg (konvergere mot) tallet \(s = \frac{a_1}{1-k}\) når \(n\) går mot uendelig dersom \(|k| < 1\). I dette tilfellet sier vi at \(s\) er summen til den gitte geometriske rekken.

Eksempel: \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dotsc = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2\]

Hvis\(|k| \ge 1\), vil ikke følgen \(\{s_n\}\) konvergere, og vi sier da at den gitte uendelige geometriske rekken er divergent.