Geometrisk rekke, uttrykk på formen 

\[a_1 + a_2 + a_3 + \dotsc + a_n + \dotsc\]

hvor \(a_1 + a_2 + a_3 + \dots\) er tall med den egenskap at forholdet mellom hvert tall og det foregående er konstant; det vil si \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = k\) for alle \(n\). Forholdstallet \(k\) kalles den geometriske rekkens kvotient.

Eksempler:

\[2 + 4 + 8 + \dotsc + 2^n + \dotsc\]

og

\[\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dotsc + \frac{1}{3^n} + \dotsc\]

er geometriske rekker med kvotient henholdsvis \(k=2\) og \(k=\frac 13\) .

Hvis det første ledd i en geometrisk rekke er \(a_1\) og kvotienten er \(k\), blir det n'te leddet lik \(a_n=a_1k^{n-1}\), og summen av rekkens \(n\) første ledd blir \(s_n = a_1\frac{k^n-1}{k-1}\). Her er forutsatt \(k\neq 1\). For \(k=1\) er \(s_n=na_1\). Dersom rekken har uendelig mange ledd, vil følgen \(\{s_n\}\) (se følge) nærme seg (konvergere mot) tallet \(s = \frac{a_1}{1-k}\) når \(n\) går mot uendelig dersom \(|k| < 1\). I dette tilfellet sier vi at \(s\) er den gitte geometriske rekkes sum. Eksempel: \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dotsc = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2\]

Hvis\(|k| \ge 1\), vil ikke følgen \(\{s_n\}\) konvergere, og vi sier da at den gitte uendelige geometriske rekke er divergent. Se for øvrig rekke, grense.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om eller kommentarer til artikkelen?

Kommentaren din vil bli publisert under artikkelen, og fagansvarlig eller redaktør vil svare når de har mulighet.

Du må være logget inn for å kommentere.