geometrisk rekke

Geometrisk rekke, uttrykk på formen

Faktaboks

Uttale
geomˈetrisk rekke

\[a_1 + a_2 + a_3 + \dotsc + a_n + \dotsc\]

hvor \(a_1 + a_2 + a_3 + \dots\) er tall med den egenskap at forholdet mellom hvert tall og det foregående er konstant; det vil si \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = k\) for alle \(n\). Forholdstallet \(k\) kalles den geometriske rekkens kvotient.

Eksempler:

\[2 + 4 + 8 + \dotsc + 2^n + \dotsc\]

og

\[\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dotsc + \frac{1}{3^n} + \dotsc\]

er geometriske rekker med kvotient henholdsvis \(k=2\) og \(k=\frac 13\) .

Hvis det første ledd i en geometrisk rekke er \(a_1\) og kvotienten er \(k\), blir det n'te leddet lik \(a_n=a_1k^{n-1}\), og summen av rekkens \(n\) første ledd blir \(s_n = a_1\frac{k^n-1}{k-1}\). Her er forutsatt \(k\neq 1\). For \(k=1\) er \(s_n=na_1\). Dersom rekken har uendelig mange ledd, vil følgen \(\{s_n\}\) (se følge) nærme seg (konvergere mot) tallet \(s = \frac{a_1}{1-k}\) når \(n\) går mot uendelig dersom \(|k| < 1\). I dette tilfellet sier vi at \(s\) er den gitte geometriske rekkes sum. Eksempel: \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dotsc = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2\]

Hvis\(|k| \ge 1\), vil ikke følgen \(\{s_n\}\) konvergere, og vi sier da at den gitte uendelige geometriske rekke er divergent. Se for øvrig rekke, grense.

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg