konneksjon - matematikk

En konneksjon, i matematikken, er en regel som definerer parallelltransport på et rom eller på en mangfoldighet. Den gir derfor en regel som forteller om hvordan en kan sammenligne punkter i nærheten av hverandre i et ikke-evklidsk geometri. Konneksjonen vil også gi oss krumningen til rommet.

En mye brukt konneksjon er Koszul konneksjonen som skrives som \(\nabla\). Hvis \( X\) er et vektorfelt på en mangfoldighet \(M\) så er \( \nabla_X\) den kovariante deriverte langs vektorfeltet \(X\). Hvis \(Y\) er et vektorfelt, så er også den kovariante deriverte langs vektorfeltet \(X\) også et vektorfelt, dvs. \(\nabla_X Y\) er et vektorfelt. Konneksjonen oppfyller følgende krav (her er \(X, ~Y,~Z \) vilkårlige vektorfelt og \(f\) en vilkårlig skalar funksjon på \(M\) ):

  1. \(\nabla_Z(X+Y)=\nabla_ZX+\nabla_ZY.\)
  2. \(\nabla_{Z+Y}X=\nabla_ZX+\nabla_YX.\)
  3. \(\nabla_Z(fX)=f\nabla_ZX+Z(f)X.\)
  4. \(\nabla_{fZ}X=f\nabla_ZX.\)

Her er \(Z(f)\) den retningsderiverte av \(f\) langs \(Z\). Denne konneksjonen kan så utvides til vilkårlige tensorfelt.

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg