I mengdelæren defineres en mengde M som uendelig dersom det er mulig å avbilde M en-entydig på en ekte delmengde av M.
Mengden \(\mathbb{Z}\) av heltallene ±1, ±2, ±3, ... er et eksempel på en uendelig mengde, ettersom korrespondansen «n svarer til 2n» er en-entydig (en injeksjon), og partallene danner en ekte delmengde av \(\mathbb{Z}\).
Vi kan uformelt si at det er «like mange» partall som heltall, og altså definere en mengde som uendelig dersom det finnes en ekte delmengde av mengden som har «like mange» elementer som mengden selv.
Det finnes ulike «grader» av uendelighet i mengdelæren, og disse gradene angis ved kardinaltall. Mengden av alle heltall (som er tellbar) har kardinaltallet (kardinaliteten) \(\aleph_0\). Mengder som er overtellbare (for store til å være tellbare) har andre kardinaltall, som \(\aleph_1, \aleph_2,\aleph_3,\ldots\). Mengden av alle reelle tall er overtellbar, og har kardinaliteten \(2^{\aleph_0}\). Cantors kontinuumshypotese sier at \(2^{\aleph_0}=\aleph_1\), men dette kan verken bevises eller motbevises ut fra de vanlige aksiomene i mengdelæren, altså det formelle systemet ZFC.
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.