Rom er i matematikken en generell samlebetegnelse på flere typer objekter med en eller annen form for ekstra struktur. Man bruker i dagligtale ofte begrepet til å betegne det tredimensjonale rommet vi lever i, men det finnes andre mer generelle eksempler slik som topologiske rom, vektorrom, grafer og mangfoldigheter.

Konseptet rom har ikke en presis matematisk definisjon, men det brukes som en samlebetegnelse på mange ulike begreper. Dette fungerer på samme måte som et annet kjent matematisk begrep: tall. Når man snakker om tall i matematikken må man spesifisere hvilken type tall man bruker — for eksempel naturlige tall, heltall, rasjonale tall eller reelle tall. Dette er fordi et tall i seg selv ikke har noen presis definisjon. På tilsvarende måte må man presisere hvilken type rom man bruker.

Selv om vi ikke har noen presis definisjon for hva et rom er, kan vi gi det en mer matematisk beskrivelse. Man kan for eksempel si at et rom er en mengde med en gitt struktur. Nicholas Bourbaki lagde en grov inndeling for ulike strukturer man kan ha, og delte dem inn i tre typer: topologiske strukturer, algebraiske strukturer og ordens strukturer. Et rom kan dog ha mer enn en struktur, og disse kan ofte sammen flettes på kompliserte måter.

Topologiske strukturer

Vagt sett så sier en topologisk struktur noe om geometrien, eller sammensetningen til rommet. Et eksempel kan være en mengde med et atlas. Et atlas beskriver hvordan rommet kan limes sammen av biter som ser ut som flatt euklidsk rom. Dette kan tenkes på som å ta mange flate kart over hele jordkloden, altså et helt atlas, som til sammen beskriver jordas runde form. Et rom av denne typen kalles en mangfoldighet, og brukes hyppig i blant annet robotikk og kybernetikk.

Den mest grunnleggende topologiske strukturen kalles forvirrende nok for en topologi. En topologi bestemmer hvilke punkter i rommet vårt som ligger «nære hverandre», uten å nødvendigvis vite hvor nære, eller engang hva «nære» betyr. En mengde med en topologi kalles et topologisk rom. Ved hjelp av en topologi kan man for eksempel definere hva det vil si at en funksjon mellom to rom er en kontinuerlig funksjon. En kontinuerlig funksjon \(f\colon X\to Y\) er da en funksjon som sender punkter som ligger nær hverandre i \(X\), til punkter som ligger nær hverandre i \(Y\).

Andre eksempler på topologiske strukturer kan være symplektiske mangfoldigheter, som brukes i klassisk mekanikk, og projektive varieteter, som brukes i kryptografi.

Algebraiske strukturer

Ofte er vi interessert i å kunne måle diverse ting i rommet vi bruker. For eksempel kan dette være å måle lengde eller vinkler. Slike strukturer kan som regel beskrives ved hjelp av funksjoner. For eksempel kan lengden mellom to punkter på et matematisk rom S, tenkes på som en funksjon \(d\colon S\times S\to \mathbb{R}\). Funksjonen tar inn to punkter \(x\) og \(y\) på rommet \(S\) og gir ut lengden mellom dem, \(d(x,y)\). En slik funksjon som måler lengde kalles ofte for en metrikk, og en mengde sammen med en metrikk kalles for et metrisk rom.

Et eksempel kan være hvordan man måler avstand på jordas overflate. Korteste avstand fra et punkt til et annet er ved å følge en storsirkel og ikke en vanlig rett linje.

Når vi har en måte å måle avstand på, altså en metrikk, vet vi også hvor «nære» punkter er. Dette definerer en topologi på rommet, som vil si at hvert metrisk rom også er et topologisk rom. Slik kan ulike rom ha flere typer strukturer som samarbeider med hverandre.

Ordens strukturer

En ordens struktur forteller oss informasjon om hvordan elementer relaterer til hverandre, ofte via en form for størrelse. For eksempel er tallet \(5\) større enn tallet \(3\), så heltallene har innebygd en naturlig ordning.

Ordens strukturer kan for eksempel fortelle oss informasjon om dimensjonen til et rom, eller om deler av rommet har en eller annen definert retning, slik som i en rettet graf eller et nettverk.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg