Faktaboks
- Uttale
- resultˈant
- Etymologi
- av resultat
Resultanten uttrykkes ved koeffisientene i de to ligningene. Det er bare når resultanten for ligningene er lik null at de to ligningene kan ha en felles rot (løsning).
Resultanten uttrykkes ved koeffisientene i de to ligningene. Det er bare når resultanten for ligningene er lik null at de to ligningene kan ha en felles rot (løsning).
Anta vi har to polynomer \(p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\) og \(q(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0\). Om \(a_n\neq0\) og \(b_m\neq0\) har polynomene henholdsvis grad \(n\) og \(m\). Ifølge algebraens fundamentalteorem har polynomene nøyaktig \(n\) og \(m\) komplekse røtter eller nullpunkter. La oss betegne nullpunktene for \(p\) ved \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) og \(\beta_1,\dots,\beta_m\) for \(q\). I dette tilfellet er resultanten \[R=a_n^m b_m^n\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^m(\alpha_i-\beta_j).\]
Et konkret eksempel er følgende: La \(p(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)=x^2-(\alpha_1+\alpha_2)x+\alpha_1\alpha_2\) og \(q(x)=b_1(x-\beta_1)=b_1x-b_1\beta\). Her blir resultanten \[R=b_1^2(\alpha_1-\beta_1)(\alpha_2-\beta_1).\]
Vi ser at om de to polynomene har et felles nullpunkt, blir resultanten null.
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.