. Begrenset gjenbruk

. Begrenset gjenbruk

. Begrenset gjenbruk

. Begrenset gjenbruk

. Begrenset gjenbruk

En matematisk relasjon uttrykker et forhold mellom to (eller flere) matematiske objekter. Relasjoner spiller en viktig rolle innen alle områder av matematikken. Eksempler på enkle relasjoner som brukes i forbindelse med tall er «større enn», «mindre enn» og «er lik». For eksempel betyr \(a > b\) at tallet \(a\) er større enn tallet \(b\). Relasjoner som brukes i forbindelse med mengder, er for eksempel «er delmengde av», som uttrykkes ved symbolet \(\subseteq\), og «er element i», som uttrykkes ved symbolet \(\in\). Også i dagliglivet opererer man med relasjoner, f.eks. «\(x\) er far til \(y\)».

Relasjoner som, i likhet med de ovennevnte, sier noe om forholdet mellom to objekter, sies å være binære. En binær relasjon \(R\) er fullstendig bestemt når man vet hvilke par \((a,b)\) av objekter \(a\) og \(b\) den stemmer for, og den kan derfor uttrykkes som mengden av de par \((a,b)\) der \(aRb\) (dvs. «\(a\) står i relasjon \(R\) til \(b\)») gjelder. Dette kan vi også skrive som \(R(a,b)\). En binær relasjon \(R\) på en mengde \(M\) kan sees på som en delmengde av produktmengden \(M \times M\), det vil si mengden av alle par \(a,b\) der \(a\in M\) og \(b \in M\) og der to par \(a_1, b_1\) og \(a_2,b_2\) ansees som identiske hvis \(a_1 = a_2 \) og \(b_1 = b_2\).

Binære relasjoner klassifiseres blant annet ved hjelp av følgende egenskaper: 1) \(R\) er refleksiv hvis \(aRa\) for alle \(a \in M\). 2) \(R\) er symmetrisk hvis \(aRb\) medfører \(bRa\). 3) \(R\) er transitiv hvis \(aRb\) og \(bRc\) medfører \(aRc\). En binær relasjon som har alle disse tre egenskapene, kalles en ekvivalensrelasjon. Det enkleste eksempelet på en ekvivalensrelasjon er relasjonen «er lik». En binær relasjon som er transitiv, refleksiv og antisymmetrisk (det vil si at \(aRb\) og \(bRa\) impliserer \(a = b\)) kalles ofte en (partiell) ordningsrelasjon. En partiell ordning er total dersom det for alle \(a \in M\) og \(b\in M\) enten er slik at \(aRb\) eller \(bRa\).

Relasjoner mellom mer enn to objekter opptrer også, både i matematikken og i dagliglivet, for eksempel «\(x\) er far til både \(y\) og \(z\)», eller «\(x\) ligger mellom \(2\) og \(4\)».

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.